Isoclina
FACULTAD DE CIENCIAS
FISICAS Y MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 521218
Problema 2. (Gu´ıa N3)
Determine la curva quepasa por (2, 5) y verifica que el segmento de la recta tangente (a ella)
que se encuentra entre los ejes coordenados se divide en el punto de tangencia en partes iguales.
De acuerdo a la figura el P VI a resolver es
(P )
y ′ (x) = −
y(2) =
5
y¯
x¯
Sabemos que AB = BC = l, entonces
sen(α) =
y
y¯
=
l
2l
cos(α) =
x¯
x¯ − x
1
=
⇒ x = x¯
l
2l
2
As´ı
⇒ y = 12 y¯
y¯
y
= y por tanto el PVI aresolver es
x¯
x
(P )
y ′ (x) = −
y(2)
= 5.
y
x
Sin resolver, hagamos un an´alisis de como son las curvas integrales.
En general, las isoclinas asociadas al problema
y ′(x) = f (x, y)
(1)
sonel lugar geom´etrico de los puntos en los cuales las tangentes a las curvas integrales buscadas
(o curvas soluci´on de la EDO) se mantienen constante, esto es, si ik = ik (x) es una k−isoclinaasociada a (1), entonces f (x, ik (x)) = k.
As´ı, las k−isoclinas ik (x) asociadas a la EDO y ′ = − xy , son tales que
−
ik (x)
= k
x
de donde se obtiene que ik (x) = −kx
Por ejemplo, para k = 1 se obtienei1 (x) = −x; para k = −1 se obtiene i−1 (x) = x , etc.
Veamos si existen isoclinas que sean curvas integrales para el problema dado. As´ı, supongamos
que la isoclina ik sea una curva integral delproblema; se debe tener entonces que
i′k (x) = −
(−kx)
ik (x)
⇔ −k = −
x
x
⇔ 2k=0
pero para k = 0,
.
ik (x) = i0 (x) ≡ 0
que ”a vista” se ve que es soluci´on de la EDO dada. Observe que de loanterior sigue que no
pueden existir curvas integrales que intersecten la recta y = 0.
Por u
´ ltimo, de f (x, y) = − xy . vemos que las regiones de existencia y unicidad excluyen a x = 0
y las curvasintegrales en el primer cuadrante son decrecientes, en el segundo cuadrante son
creciente, etc. Finalmente, observe adem´as que la curva y = 0 se comporta como una asintota
para las curvas integrales en...
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