Itz Tarea

INSTITUTO TECNOLOGICO DE ZACATECAS

UNIDAD IV

SERIES

CARRERA: INGENIERÍA INDUSTRIAL

ASIGNATURA: CALCULO INTEGRAL

NOMBRE DEL ALUMNO: VICTOR ALFONSO REYES RODRIGUEZ

NO. DE CONTROL: 11450292

Zacatecas, Zac. Julio 13 del 2012

4.4 radio de Convergencia

En matemáticas, según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de una serie de la forma , con , viene dadopor la expresión:

Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma,
con, recibe el nombre de serie de potencias centrada en x0. La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que | x − x0 | < r, donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de x pertenecientes alintervalo (x0 − r, x0 + r), ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para x0, r = 0. Si lo hace para cualquier valor de x, r = 

EJEMPLO
Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios deconvergencia sin justificar porqué el radio de convergencia es el dado.
Radio de convergencia finito
La función 1 / (1 − x) en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia x − x0 = x − 0 = x, tiene el siguiente aspecto:
.
(para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es r = 1. Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al x0 =0 es menor que r = 1, por ejemplo el x = 0.25, entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho
.
(la cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado
.
Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el x = 2, los más probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (poreso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:

4.5 Serie de Taylor

La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias:

que puede ser escrito de una manera más compacta como

donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en elpunto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y  y  son ambos definidos como uno.
Cabe destacar que en una serie de Taylor de potencias centrada en a de la forma  siempre se puede hacer el cambio de variable  (con lo que  en la función a desarrollar original) para expresarla como centrada en 0. Luego hay que deshacer el cambio de variable. Por ejemplo, si se quiere desarrollar lafunción alrededor de a = 1 se puede tomar , de manera que se desarrollaría  centrada en 0.

Función exponencial y logaritmo natural

[editar]Serie geométrica

[editar]Teorema del binomio
 para 
y cualquier  complejo
[editar]Funciones trigonométricas

Donde Bs son los Números de Bernoulli.

Funciones hiperbólicas

[editar]Función W de Lambert

Los números Bk que aparecen en los desarrollos detan(x) y tanh(x) son Números de Bernoulli. Los valores C(α,n) del desarrollo del binomio son los coeficientes binomiales. Los Ek del desarrollo de sec(x) son Números de Euler.
[editar]Varias variables
La serie de Taylor se puede generalizar a funciones de  variables:

donde  es un coeficiente multinomial. Como ejemplo, para una función de 2 variables, x e y, la serie de Taylor de segundo ordenen un entorno del punto (a, b) es:

Un polinomio de Taylor de segundo grado puede ser escrito de manera compacta así:

donde  es el gradiente y  es la matriz hessiana. Otra forma:

4.6 REPRESENTACION DE FUNCIONES MEDIANTE LA SERIE DE TAYLOR
En matemáticas, una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se...