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SELECTIVIDAD

PROGRAMACIO LI EAL

x + 2 y ≥ 6
x − y ≤ 1


1) Dibuja el recinto del plano delimitado por las inecuaciones  y ≤ 5
x ≥ 0

y ≥ 0

El semiplano determinado por los puntos ( x, y ) que verifican que x ≥ 0 es el semiplano

El semiplano determinado por los puntos ( x, y ) que verifican que y ≥ 0 es el semiplano

El semiplano determinado por los puntos ( x, y )que verifican que y ≤ 5 es el semiplano

Puesto que se verifica que las coordenadas del origen (0, 0) verifican la desigualdad x − y ≤ 1 ,
el semiplano determinado por los puntos ( x, y ) que verifican que x − y ≤ 1 es el semiplano

Puesto que se verifica que las coordenadas del punto (1, 1) verifican la desigualdad x + 2 y < 6 ,
el semiplano determinado por los puntos ( x, y ) que verificanque x + 2 y ≥ 6 es el semiplano

x + 2 y ≥ 6
x − y ≤ 1


El recinto del plano definido por las inecuaciones  y ≤ 5
será, entonces, el recinto
x ≥ 0

y ≥ 0


Téngase en cuenta que el recinto tiene cuatro vértices. El vértice A (0, 3) es la intersección de
x + 2 y = 6
y = 5
las rectas 
. El vértice B (0, 5) es la intersección de las rectas 
. El vértice
y = 0
x = 0x − y = 1
7 4
C (6, 5) es la intersección de las rectas 
. El vértice D  ,  es la intersección de
3 3
y = 5
x − y = 1
.
las rectas 
x + 2 y = 6

 1
8 5
7 
 5
2) Los vértices de un polígono convexo son A(1,1) , B 3,  , C  ,  , D , 3  y E  0,  .
 2
3 2
3 
 3
Calcula el máximo de la función objetivo F ( x, y ) = 3 x − 2 y + 4 en la regióndelimitada por
dicho polígono.
 1
F  3,  = 3 − 1 + 4 = 6 ,
 2
10
2
8 5
7 
 5
F  ,  = 8 − 5 + 4 = 7 , F  , 3  = 7 − 6 + 4 = 5 y F  0,  = − + 4 = . Por tanto, el
3
3
3 2
3 
 3
8 5
valor máximo de la función es 7 y se alcanza en el vértice C  ,  .
3 2

Como

F ( x, y ) = 3 x − 2 y + 4

se

verifica

que

F (1, 1) = 5 ,

3) Sabiendo que A (0,2 ) , B (1, 4) , C (3, 4) , D (4, 2) y E (2, 1) son los vértices de una región
factible, determina en ella el mínimo y el máximo de la función F ( x, y ) = 10 x + 5 y + 21 , e
indica los puntos donde se alcanzan.
Como
F ( x, y ) = 10 x + 5 y + 21 ,
se
verifica
que
F (0, 2) = 10 + 21 = 31 ,
F (1, 4) = 10 + 20 + 21 = 51 ,
F (3, 4) = 30 + 20 + 21 = 71 ,
F (4, 2 ) = 40 + 10 + 21 = 71
y
F(2, 1) = 20 + 5 + 21 = 47 . Por tanto, el valor mínimo de la función es 31 y se alcanza en el
vértice A (0, 2 ) , el valor máximo de la función es 71 y se alcanza en cualquier punto del
segmento CD.
3x + y ≥ 4

4) Sea el recinto del plano definido por el siguiente sistema de inecuaciones  x + y ≤ 6 .
0 ≤ y ≤ 5

a) Representa gráficamente dicho recinto.
b) Calcula los vértices dedicho recinto.
c) En el recinto anterior, determina los valores máximo y mínimo de la función
F ( x, y ) = 5 x + 3 y . ¿En qué puntos se alcanzan dichos valores?

4 
Téngase en cuenta que el recinto tiene cuatro vértices. El vértice A  , 0  es la intersección
3 
3 x + y = 4
3 x + y = 4
 1 
. El vértice B  − , 5  es la intersección de las rectas 
. El
de las rectas 
 3 
y= 0
y = 5

x + y = 6
vértice C (1, 5) es la intersección de las rectas 
. El vértice D (6, 0) es la intersección
y=5

x+ y =6

de las rectas 
.
y=0

5
40
 4  20
 1 
, F  − , 5  = − + 15 =
,
F  , 0 =
3
3
3  3
 3 
F (1, 5) = 5 + 15 = 20 y F (6, 0) = 30 . Por tanto, el valor máximo de la función es 30 y se
20
y se alcanza en el vértice
alcanza en elvértice D (6, 0) , el valor mínimo de la función es
3
4 
A  , 0 .
3 
4 x − y ≥ 4
2 x + y ≤ 15

5) Se considera el recinto del plano determinado por los siguientes semiplanos 
.
3 y − x ≤ 10
y ≥ 0

a) Representa gráficamente dicho recinto y calcula sus vértices.
b) Determina los puntos del recinto donde la función F ( x, y ) = 4 x − 7 y alcanza el
máximo y el mínimo.
c)...