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Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para la Educación













LIMITES










Barcelona, 6 de diciembre de 2010

Limites

En matemáticas, se usa el concepto del límite para describir la tendencia de una sucesión o una función. La idea es que el una sucesión o una función tiene un límite si se puede acercar a un ciertonúmero, que se llama el límite, tanto como queramos. Se usa el límite en cálculo (por lo que también se usa en el análisis real y matemático) para definir convergencia, continuidad, derivación, integración, y muchas.

Unilaterales

Teoremas


      Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a la definición Epsilón-Delta se establecen los siguientesteoremas.
Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.
Nota: los teoremas se presentan sin demostración, pero quien quiera verla puede hacer clic en el vínculo correspondiente.

Teorema de límite1:
Si  k es una constante y a un número cualquiera, entonces
[pic]

 [pic]Teorema de límite2:
Para cualquier número dado a,
[pic]

 [pic]Teorema de límite3:
Si m yb son dos constantes cualesquiera, entonces
[pic]

 [pic]Teorema de límite4:
[pic]

 [pic]Teorema de límite5:
[pic]

 [pic]Teorema de límite6:
Si  f es un polinomio y a es un número real, entonces
[pic]

 [pic]Teorema de límite7:
Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces
[pic]

 [pic]
Teorema de límite8:
[pic]

[pic]Procedimiento para calcularlímites
    
 Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores, el límite se calcula directamente. Con respecto a las propiedades, como la propiedad 6 se aplica a cualquier polinomio y las propiedades 1, 2, 3, y 4  implican funciones polinómicas es indistinto que nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6 cuando calculamos el límite de unafunción polinómica. Lo mismo, la propiedad 7 se aplica a una función racional y la propiedad 4 (III) también.
     Cuando al sustituir la a por x en la función nos da la forma indetermidada 0/0 es posible calcular el límite pero, previamente, hay que transformar la fórmula de la función de tal modo que se pueda evitar la división por cero: para lograr esto disponemos de procedimientos algebraicoseficaces como la factorización, la conjugada, etc.
[pic]

Límites infinitos y límites al infinito

El símbolo [pic]se lee infinito, es de carácter posicional, no representa ningún número real.
Si una variable independiente [pic]está creciendo indefinidamente a través de valores positivos, se escribe [pic](que se lee: [pic]tiende a más infinito), y si decrece a través de valoresnegativos, se denota como [pic](que se lee: [pic]tiende a menos infinito).
Similarmente, cuando [pic]crece indefinidamente y toma valores positivos cada vez mayores, se escribe [pic], y si decrece tomando valores negativos escribimos [pic].
Consideramos la función [pic]definida por [pic]para [pic]. Vamos a determinar el comportamiento de la función cuando [pic]cuando [pic]y cuando [pic]. Para ello nosayudamos de las tablas siguientes:
|a.  |  |


 
 


En este caso, cuando [pic], la función [pic]tiende a tomar valores positivos cada vez mayores. Esto podemos escribirlo como [pic], es decir [pic]
 
|b.  | |


 


Ahora, cuando [pic]toma valores cercanos a 2 pero menores que 2, la función tiende a valores negativos cada vez menores. Es decir, [pic]cuando [pic], o sea [pic]. 
|c.|  |


Ahora observe que es [pic]la que tiende a tomar valores positivos cada vez mayores, obteniendo como resultado que [pic]tiende a valores cercanos a cero.
Así [pic], o sea, [pic]cuando [pic].

|d. | |


 
En forma similar a la tabla anterior se tiene que [pic]cuando [pic]es decir,...