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Publicado: 21 de febrero de 2015
Capítulo 2
Desigualdades y valor absoluto
1
Desigualdades y valor absoluto
2
Valor absoluto
El valor absoluto de un número real es su distancia al cero. Puesto que un número real puede ser
positivo, negativo o cero, se tiene:
½
si ≥ 0
|| =
−
si 0
.
−a
−a
a
a
0
a
a
Si a > 0
−a
0
Si a < 0
−a
.
Figura 2-1
Recuerda que si 0,entonces − 0.
Es claro que
|| = |−|
pues dista de 0 lo mismo que su simétrico.
Observación:
La letra representa un número que puede ser positivo, negativo o cero. Por consiguiente −
no es necesariamente un número negativo, y podremos decidirlo hasta que sepamos que número
representa .
Ejemplos
1. Si =
3
3
entonces − = − .
4
4
2. Si = −16 entonces − = 16
3.Si = 0 entonces − = 0.
Observaciones:
• El valor absoluto de cualquier número es no negativo.
• − no es necesariamente un número negativo, por ejemplo si = −8, entonces
− = − (−8) = 8.
que es positivo.
Algunas propiedades del valor absoluto
Si y son dos números reales, entonces se cumplen las siguientes propiedades:
Desigualdades y valor absoluto
3
• |−| = ||.
• ||2= 2 .
√
√
• || = 2 , donde denota la raíz no negativa de , para cualquier número ≥ 0.
• || = || ||.
¯ ¯ ||
¯ ¯
• ¯ ¯=
.
||
Ejemplos
1. |−11| = |11| = 11.
2. |−12|2 = (−12)2 = 144.
√
3. |5| = 52 = 5.
4. |8 · 15| = |8| |15| = 120.
¯ ¯
¯ −7 ¯ |−7|
7
5. ¯¯ ¯¯ =
= .
3
|3|
3
6. Resolver la ecuación || = 7.
Solución:
Puesto que en la ecuación aparece unvalor absoluto, consideramos tres casos:
• Si ≥ 0, entonces || = , de donde = 7.
• Si 0, entonces || = −, de donde − = 7. Así, = −7.
Por tanto = 7 y = −7 satisfacen la igualdad. Esto era de esperarse ya que 7 y −7 son
los únicos puntos cuya distancia al cero es 7.
.
.
−7
0
.
7
.
Figura 2-2
7. Resolver la ecuación 2 + + = 0 donde , y sonnúmeros reales dados y 6= 0.
Solución:
Resolveremos esta ecuación completando un trinomio cuadrado perfecto.
Desigualdades y valor absoluto
4
Primero factorizamos el coeficiente de 2 :
2
µ + +¶ = 0
= 0
2 + +
2 + +
= 0
Despejamos el término independiente
2 + = − .
El número que completa a + como trinomio cuadradoperfecto es
sumamos éste número en ambos lados de la igualdad:
µ ¶2
µ ¶2
2
+ +
= − +
2
2
µ
¶2
2
+
= − + 2.
2
4
2
Efectuando la suma de la derecha y simplificamos:
¶2
µ
=
+
2
µ
¶2
+
=
2
¶2
µ
2
4 +
=
2
µ µ
¶¶2
2 +
=
2
sµ µ
¶¶2
2 +
=
2
¯ µ
¶¯
¯
¯
¯2 + ¯ =
¯
2 ¯
Tenemos doscasos
¶
µ
√
= 2 − 4
2 +
2
de donde
+
=
2
√
2 − 4
2
µ
2
−4 + 2
42
2 − 4
42
2 − 4
2 − 4
√
2 − 4
√
2 − 4.
o
¶
µ
= 2 − 4
− 2 +
2
o
√
2 − 4
+
=−
2
2
¶2
, así que
Desigualdades y valor absoluto
5
Con lo cual obtenemos las soluciones:
=
− +
√
2 − 4
2
o=
− −
√
2 − 4
.
2
Podemos escribir brevemente lo anterior como:
=
− ±
√
2 − 4
.
2
La expresión anterior se llama solución general de la ecuación general de segundo grado.
Desigualdades y valor absoluto
En una fábrica de cuadernos se forma una comisión de control de calidad, pues en
una encuesta se detectó que los consumidores opinan que el papel es bueno,pero el
tamaño de los cuadernos no es uniforme: unos son más anchos que otros. El ancho
requerido es de 215 cm, y un cuaderno pasará el control de calidad si el error es de,
a lo más, 004 cm. ¿Qué anchos pueden tener los cuadernos que hayan aprobado el
control de calidad?
Solución:
Llamamos al ancho de un cuaderno. El defecto en el ancho del cuaderno es la
diferencia:
− 215.
Como...
Desigualdades y valor absoluto
1
Desigualdades y valor absoluto
2
Valor absoluto
El valor absoluto de un número real es su distancia al cero. Puesto que un número real puede ser
positivo, negativo o cero, se tiene:
½
si ≥ 0
|| =
−
si 0
.
−a
−a
a
a
0
a
a
Si a > 0
−a
0
Si a < 0
−a
.
Figura 2-1
Recuerda que si 0,entonces − 0.
Es claro que
|| = |−|
pues dista de 0 lo mismo que su simétrico.
Observación:
La letra representa un número que puede ser positivo, negativo o cero. Por consiguiente −
no es necesariamente un número negativo, y podremos decidirlo hasta que sepamos que número
representa .
Ejemplos
1. Si =
3
3
entonces − = − .
4
4
2. Si = −16 entonces − = 16
3.Si = 0 entonces − = 0.
Observaciones:
• El valor absoluto de cualquier número es no negativo.
• − no es necesariamente un número negativo, por ejemplo si = −8, entonces
− = − (−8) = 8.
que es positivo.
Algunas propiedades del valor absoluto
Si y son dos números reales, entonces se cumplen las siguientes propiedades:
Desigualdades y valor absoluto
3
• |−| = ||.
• ||2= 2 .
√
√
• || = 2 , donde denota la raíz no negativa de , para cualquier número ≥ 0.
• || = || ||.
¯ ¯ ||
¯ ¯
• ¯ ¯=
.
||
Ejemplos
1. |−11| = |11| = 11.
2. |−12|2 = (−12)2 = 144.
√
3. |5| = 52 = 5.
4. |8 · 15| = |8| |15| = 120.
¯ ¯
¯ −7 ¯ |−7|
7
5. ¯¯ ¯¯ =
= .
3
|3|
3
6. Resolver la ecuación || = 7.
Solución:
Puesto que en la ecuación aparece unvalor absoluto, consideramos tres casos:
• Si ≥ 0, entonces || = , de donde = 7.
• Si 0, entonces || = −, de donde − = 7. Así, = −7.
Por tanto = 7 y = −7 satisfacen la igualdad. Esto era de esperarse ya que 7 y −7 son
los únicos puntos cuya distancia al cero es 7.
.
.
−7
0
.
7
.
Figura 2-2
7. Resolver la ecuación 2 + + = 0 donde , y sonnúmeros reales dados y 6= 0.
Solución:
Resolveremos esta ecuación completando un trinomio cuadrado perfecto.
Desigualdades y valor absoluto
4
Primero factorizamos el coeficiente de 2 :
2
µ + +¶ = 0
= 0
2 + +
2 + +
= 0
Despejamos el término independiente
2 + = − .
El número que completa a + como trinomio cuadradoperfecto es
sumamos éste número en ambos lados de la igualdad:
µ ¶2
µ ¶2
2
+ +
= − +
2
2
µ
¶2
2
+
= − + 2.
2
4
2
Efectuando la suma de la derecha y simplificamos:
¶2
µ
=
+
2
µ
¶2
+
=
2
¶2
µ
2
4 +
=
2
µ µ
¶¶2
2 +
=
2
sµ µ
¶¶2
2 +
=
2
¯ µ
¶¯
¯
¯
¯2 + ¯ =
¯
2 ¯
Tenemos doscasos
¶
µ
√
= 2 − 4
2 +
2
de donde
+
=
2
√
2 − 4
2
µ
2
−4 + 2
42
2 − 4
42
2 − 4
2 − 4
√
2 − 4
√
2 − 4.
o
¶
µ
= 2 − 4
− 2 +
2
o
√
2 − 4
+
=−
2
2
¶2
, así que
Desigualdades y valor absoluto
5
Con lo cual obtenemos las soluciones:
=
− +
√
2 − 4
2
o=
− −
√
2 − 4
.
2
Podemos escribir brevemente lo anterior como:
=
− ±
√
2 − 4
.
2
La expresión anterior se llama solución general de la ecuación general de segundo grado.
Desigualdades y valor absoluto
En una fábrica de cuadernos se forma una comisión de control de calidad, pues en
una encuesta se detectó que los consumidores opinan que el papel es bueno,pero el
tamaño de los cuadernos no es uniforme: unos son más anchos que otros. El ancho
requerido es de 215 cm, y un cuaderno pasará el control de calidad si el error es de,
a lo más, 004 cm. ¿Qué anchos pueden tener los cuadernos que hayan aprobado el
control de calidad?
Solución:
Llamamos al ancho de un cuaderno. El defecto en el ancho del cuaderno es la
diferencia:
− 215.
Como...
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