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Determinantes

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS
DETERMINANTES
CONCEPTO DE DETERMINANTE
DEFINICIÓN
Sea

A una matriz cuadrada de orden n . Se define como determinante de A (denotado como A ,

det ( A)

ó ∆ A ) a la suma de los n productos (signados) formados por n-factores que se obtienen al
multiplicarn-elementos de la matriz de tal forma que cada producto contenga un sólo elemento de cada
fila y columna de A .
Esto significa que un determinante es un valor numérico
cuadrada y que sigue ciertas reglas para su cálculo .

a11
a21

det ( A) = a31
⋮

an1

κ

que está relacionado con una matriz

a12
a22

a13 … a1n
a23 … a2 n

a32
⋮

a33 … a3n = κ
⋮
⋮
⋮

an 2

an 3 ⋯ annDos matrices diferentes (tanto en orden como en elementos) pueden tener igual determinante. Nótese
como la notación de determinante no presenta los corchetes (a diferencia de las matrices) sino sólo
líneas.

CÁLCULO DE DETERMINANTES DE SEGUNDO Y TERCER ORDEN. REGLA DE SARRUS
Para calcular determinantes de segundo y tercer grado el método más simple es el de multiplicación
diagonal, mejorconocido como Regla de Sarrus.

Esta regla establece que para una matriz de segundo orden

a 
a
A =  11 12  , su determinante se calcula
a21 a22 

de la siguiente manera:

det ( A) =

a11

a12

a21 a22

= a11a22 − a21a12

esto significa que el determinante de segundo orden es el producto de los elementos de la diagonal
principal menos el producto de los elementos de ladiagonal secundaria.
Ejemplos.
1)

3 5
= 3(4 ) − 2(5) = 12 − 10 = 2
2 4
1

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Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

4 −8
= 4(− 7 ) − 3(− 8) = −28 + 24 = −4
3 −7
− 12 − 6
3)
= −12(− 4 ) − 5(− 6 ) = 48 + 30 = 78
5
−4
2)

 a11

La regla de Sarrus aplicada a una matriz de tercer orden A = a 21

 a31
a12
a22
a32

a13 
a 23  , establece que su

a33 


determinante se calcula como:

a11
det ( A) = a21
a31

a12
a22
a32

a13
a23 = a11a22 a33 + a21a32 a13 + a31a12 a23 − a31a22 a13 − a21a12 a33 − a11a32 a23
a33

esto significa que el determinante de segundo orden es la suma de los productos de los elementos de la
diagonal principal y sus dos paralelas, menos la suma delos productos de los elementos de la diagonal
secundaria y sus dos paralelas.
Ejemplos.

1 −3 5
1) 7
4 − 1 = 1(4 )(6 ) + 7(0 )(5) + (− 2 )(− 3)(− 1) − (− 2 )(4 )(5) − (7 )(− 3)(6 ) − 1(0 )(− 1)
−2 0
6

= 24 + 0 − 6 + 40 + 126 + 0 = 184
2 −1 0
2) 3 5 10 = 2(5 )(− 8 ) + 3(7 )(0 ) + 1(− 1)(10 ) − 1(5)(0 ) − 3(− 1)(− 8) − 2(7 )(10 )
1 7 −8

= −80 + 0 −10 − 0 − 24 −140 = −254
3 −5 8
3)− 4
2
3 = 3(2 )(− 1) + (− 4 )(9 )(8) + 7(− 5)(3) − 7(2 )(8) − (− 4 )(− 5)(− 1) − 3(9 )(3)
7
9 −1

= −6 − 288 −105 −112 + 20 − 81 = −572
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
1. Si todos los elementos de una columna o de un renglón son cero, entonces el determinante es cero.
Ejemplos.
1)

2 0
= 2(0 ) − 6(0 ) = 0 − 0 = 0
6 0

2

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2)

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

−9 1
= (− 9 )(0 ) − 0(1) = 0 − 0 = 0
0 0

2. El determinante de la matriz

A es igual al determinante de la matriz AT

Ejemplo.

5 − 1
A=

8 3 
5 −1
det ( A) =
= 5(3) − (8)(− 1) = 15 + 8 = 23
8 3
 5 8
AT = 

− 1 3

( )

det AT =

5 8
= 5(3) − (− 1)(8) = 15 + 8 = 23
−1 3

3. Si cada elemento de unrenglón o una columna es multiplicado por un escalar
también multiplicado por

k , el determinante es

k.

Ejemplos.

2 3
4 5

= 2(5) − 4(3) = 10 − 12 = −2

Multiplicando el primer renglón por

6 9
4 5

k =3

= 6(5) − (4 )(9 ) = 30 − 36 = −6

Multiplicando la primera columna por

k =3

6 3
= 6(5) − 12(3) = 30 − 36 = −6
12 5
en general:

⋯ a1n

a11
k

a12...