John Farey

John Farey
Fue un geólogo y escritor inglés, Nació en Woburn, Bedfordshire, y estudió en Halifax, Yorkshire, Además de ser recordado por los historiadores de la geología, su nombre es conocido másampliamente por la sucesión de Farey, la cual elaboró como resultado de su interés en las matemáticas del sonido .Farey publicó una carta sobre la sucesión junto con un ejemplo en un número de larevista Philosophical Magazine en 1816



Historia de la Sucesión de Farey

El verdadero nombre de la sucesión debería ser Sucesión de Haros, ya que el nombre por el que se popularizó la sucesión esIlegítimo,
 Pues fue publicada anteriormente por el matemático francés Charles Haros en 1812, el cuál realizó investigaciones sobre el concepto matemático de mediante. Desgraciadamente para Haros,un accidente histórico le privó de la fama y, gracias a la mayor repercusión académica de Cauchy, que nombró a Farey como descubridor, el nombre de la sucesión fue atribuido a Farey. Farey no realizo ningunaverificación matemática, sino que conjeturo, sin tener alguna prueba.


Explicación de la sucesión de Farey
La idea es tomar un número natural (Ej. n = 3) y empezar a definir la serie Farey (3) comouna serie de fracciones que tienen como numerador y denominador los números entre 1 y n. En el caso de F (3) escribiendo todas estas fracciones serían
1/1, 1/2, 1/3, 2/1, 2/2, 2/3, 3/1, 3/2, 3/3
Unasencilla manera algorítmica de construir la sucesión de Farey para un número n (por ejemplo, el 4):
Construimos unas fracciones con todas las combinaciones posibles de los números del 1 al 4:Eliminamos aquellas fracciones superiores a 1 (o dicho de otra manera, en las que el numerador sea mayor que el denominador):

Simplificamos todas las fracciones, descartando las repetidas:

Ordenamos elresultado de menor a mayor, agregando el 0 (0⁄1) al principio:


. Resulta que la serie resultante tiene una curiosa propiedad: tomando cualquiera de las fracciones, el numerador es igual a la suma de...