Jota

Cap´
ıtulo 3
Teorema de Hahn-Banach
3.1.

Introducci´n
o

Una vez introducidos los espacios vectoriales m´s importantes donde
a
se tiene una estructura m´trica –a saber, los espacios de Hilbert y los espae
cios de Banach– presentaremos sucesivamente los cuatro teoremas que son
considerados como los pilares del An´lisis Funcional, a saber, el Teorema
a
de Hahn-Banach, El Principio dela Acotaci´n Uniforme, El Teorema de la
o
Aplicaci´n Abierta y el Teorema del Grafo Cerrado.
o
En este cap´
ıtulo enunciaremos y probaremos el Teorema de Hahn-Banach,
que es un resultado crucial de extensi´n de funcionales lineales, con imporo
tantes consecuencias. Una de ellas es que el dual de cualquier espacio normado es no trivial, es decir, no se reduce a {0}, e incluso es “bastantegrande”,
en cierto sentido. Introduciremos tambi´n el bidual de un espacio normado,
e
as´ como el concepto de espacio reflexivo, del cual un espacio de Hilbert es el
ı
ejemplo m´s destacado.
a
Antes de comenzar, es conveniente recordar un instrumento fundamental
en Teor´ de Conjuntos, que posee m´ltiples aplicaciones, a saber, el Lema de
ıa
u

2

Luis Bernal Gonz´lez y Tom´s Dom´
aa
ınguez Benavides

Zorn. Su enunciado es el siguiente: Sea A un conjunto parcialmente ordenado,
es decir, en A se ha dado alguna relaci´n de orden, la cual denotamos por
o
“≤”. Supongamos que cada cadena C en A –es decir, cada subconjunto
totalmente ordenado– admite una cota superior en A, esto es, existe α ∈ A
tal que x ≤ α para todo x ∈ C . Entonces A posee alg´n elemento maximal,
u
osea, existe γ ∈ A tal que [δ ∈ A y γ ≤ δ ] implica δ = γ .

3.2.

El Teorema de Hahn-Banach

Partimos de un resultado de extensi´n algebraica. Supongamos que E
o
es un espacio vectorial, M es un subespacio vectorial de E y f : M → R
es una aplicaci´n lineal. No es dif´ construir una extensi´n lineal g de f a
o
ıcil
o
todo E . Basta tomar una base algebraica de M y completarla hastaobtener
una base de E ; por ultimo, se define g como f en M , y arbitrariamente en los
´
nuevos vectores base, y se extiende linealmente a la variedad lineal generada
por la nueva base, que es E . Lo que no es tan f´cil es conseguir “controlar”la
a
extensi´n lineal a E si ya hab´ cierto control en la aplicaci´n lineal original.
o
ıa
o
Esto es lo que hace el Teorema de Hahn-Banach. Antes,necesitamos un
concepto que precise qu´ funciones son las que ejercen el control.
e
Definici´n 3.2.1. Sea E un espacio vectorial real. Una funci´n p : E → R
o
o
es un funcional sublineal o subnorma si cumple las siguientes propiedades:
(1) p(x + y ) ≤ p(x) + p(y ) para todo x, y ∈ E .
(2) p(αx) = αp(x) para todo x ∈ E y todo α ∈ R con α > 0.
Por ejemplo, la norma en un espacio normado X esun funcional lineal.
Teorema 3.2.2. [Teorema de Hahn-Banach ]. Sea E un espacio vectorial real
y M un subespacio de E . Supongamos que p es un funcional sublineal sobre
E , que f : M → R es una aplicaci´n lineal tal que f (x) ≤ p(x) para todo
o

Teorema de Hahn-Banach

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x ∈ M . Entonces existe una aplicaci´n lineal g : E → R tal que g |M = f y
o
g (x) ≤ p(x) para todo x ∈ E .Demostraci´n. Consideremos la familia A de todas las aplicaciones h lineales
o
y reales definidas en alg´n subespacio D(h) de E tales que D(h) ⊃ M ,
u
h|M = f y h(x) ≤ p(x) para todo x ∈ D(h). Esta familia es no vac´
ıa
pues f ∈ A. Podemos definir en A un orden parcial poniendo h1 ≤ h2 si
D(h1 ) ⊂ D(h2 ) y h2 es una extensi´n de h1 . Queremos aplicar el Lema de
o
Zorn a la familia A, dotada delorden parcial anterior.
Para ello, fijemos una cadena C en A. Llamemos D :=

h∈C

D(h). Ya que

C est´ totalmente ordenado, se deduce que D es un subespacio vectorial de
a
E y que la aplicaci´n u : D → R dada por u(x) = h(x) si x ∈ D(h) con
o
h ∈ C est´ bien definida y es lineal. Es claro que h ≤ u para toda aplicaci´n
a
o
h ∈ C . Por tanto C tiene una cota superior en A. En...