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UNIDAD V.- SERIES DE FOURIER

Funciones Ortogonales
Dos funciones y definidas en un intervalo [a, b] son ortogonales si su producto interno es cero, el producto interno está definido por laintegral

Ejemplos:
1) , definidas en [-2, 2]

Por lo tanto son ortogonales en el intervalo dado.
2) , definidas en [-2, 2]

Por lo tanto no son ortogonales en el intervalo dado.
2) , definidasen [-2, 2]
Por lo tanto son ortogonales en el intervalo dado.
Conjunto Ortogonal en un intervalo [a, b],
Cuando todas las funciones que componen al conjunto (que puede ser infinito) sonortogonales en el intervalo.
Norma de una función es la raíz del producto interno consigo misma

Conjunto Ortonormal en un intervalo [a, b],
Cuando todas las funciones que componen el conjunto (que puedeser infinito)
además de ortogonales en el intervalo tienen norma igual a 1.
Normalizado, proceso que ortonormaliza a un conjunto ortogonal en un intervalo [a, b]:

Ejemplo:
Verifique que elconjunto es ortogonal en . Determine la norma de cada función en el conjunto y concluya si es Ortonormal, si la respuesta es no normalícelo.

para
Por lo tanto el conjunto es ortogonal en .

Elconjunto no es Ortonormal en el intervalo, normalizándolo el conjunto ya es Ortonormal en .
Serie de Fourier Generalizada
Dado el conjunto infinito ortogonal en [a, b] , es posible desarrollar unafunción f(x) definida en el intervalo mediante la combinación lineal de las funciones que componen el conjunto:

Multiplicando por e integrando en el intervalo
Despejando el coeficiente ESSerie de Fourier generalizada para f(x) |

Con el conjunto ortogonal en , se puede desarrollar cualquier función par definida en el intervalo ya que todas las funciones del conjunto son pares:Ejemplo definida en

SERIE DE FOURIER para en En donde |
Converge a:
* A la función mientras que sea continua.
* Punto medio en discontinuidades
* Hace una extensión periódica...