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3.1.2 Área entre las gráficas de funciones.

Área de una región entre dos curvas
El cálculo del área de una región bajo una curva mediante integrales definidas se extiende a regiones comprendidasentre dos curvas. Sean f y g dos funciones continuas en el intervalo . Si, como sucede en la figura 6.1., las dos graficas están por encima del eje x y la de f por encima de la g, podemos interpretarel área de la región entre ellas como el área bajo f menos el área bajo g como sugiere la figura 6.2.










En la figura 6.1 las graficas de f y g estaban por encimadel eje x. Pero esa circunstancia no es necesaria. El mismo integrando sirve cuando f y g son continuas y en el intervalo . Este resultado se ilustra en la figura 6.4.

Los rectángulosrepresentativos se utilizan en varias aplicaciones a lo largo de este capitulo. Un rectángulo vertical (de anchura ) implica integración con respecto a x, mientras un rectángulo horizontal (de anchuraΔy) implica integración con respecto a y.

Ejemplo 1 Calcular el área de la región acotada por las gráficas de
Solución: Sean g(x) = -x y f(x )=+ 2. Entonces para todo x en (véase Figura6.5). Así pues, el área del rectángulo representativo es


y el área de la región





Área de una región entre dos curvas que se cortan
Las gráficas de en el ejemplo 1 no secortan y los valores a y b se han dado explícitamente. Un problema más común consiste en hallar el área de una región comprendida entre dos gráficas que se cortan, de manera que los valores de a y b han deser calculados previamente.
Ejemplo 2 Una región determinada por dos gráficas que se cortan
Calcular el área de la región comprendida entre las graficas de f(x)= 2 - y
g(x) = x.
Solución: En lafigura 6.6 observamos que las graficas de f y g tienen dos puntos de intersección. Para determinar estos puntos, hacemos f(x) = g(x) y despejamos x.






Así pues, a = -2 y b =...