kjjg, gjr, ogjd, jgt

TALLER 3: Derivadas parciales, diferenciabilidad y planos tangentes
C´lculo en varias variables
a
Universidad Nacional de Colombia - Sede Medell´
ın
Escuela de matem´ticas
a
1. Halle lossiguientes l´
ımites interpret´ndolos como derivadas parciales:
a
(x + h)y sen(z) − xy sen(z)
h
y+h
x
y
ln
+ 3 ln
− ln
− 3 ln
x
y+h
x
b) l´
ım
h−→0
h

a) l´
ım

h−→0

x
y

2.Calcule las primeras derivas parciales de las siguientes funciones:
α) f (x, y) = xey/x
√
β) f (x, y, z) = x2 tan−1 ( 1 + y + z) + ln(1 + y + z)
x

cos(t2 ) dt

γ) f (x, y) =
y

xy

g(t)dt, donde g : R −→ R es una funci´n continua.
o

δ) f (x, y) =
x

3. Si f (x, y) =

4 − x2 − 4y 2 , halle fx (1, 0) y

fy (1, 0) e interprete estos n´meros como penu
dientes de rectas.Ilustre.

4. Sea f : R2 −→ R la funci´n definida por
o


2
 2
 (x + y 2 ) sen
, (x, y) = (0, 0)
2 + y2
f (x, y) =
.
x



0,
(x, y) = (0, 0)
a) Compruebe que las derivadas parcialesde f existen en todo punto de R2 .
b) Pruebe que f es diferenciable en (0,0).

5. Halle una ecuaci´n para el plano tangente a
o
la gr´fica de f (x, y) = x cos(x) cos(y) en el
a
punto (0, π,0).

6. Analice la diferenciabilidad de la funci´n
o

 xy(x2 − y 2 )

, (x, y) = (0, 0)
x2 + y 2
f (x, y) =


0,
(x, y) = (0, 0)
en el punto (0, 0).

7. Sea f : R2 −→ R la funci´ndefinida por
o


x3

+ 1, (x, y) = (0, 0)
x2 + y 2
.
f (x, y) =


1,
(x, y) = (0, 0)
a) Calcular las derivadas parciales de f en el punto
(0, 0).
b) Pruebe que f no es diferenciableen (0,0).

8. Encuentre la ecuaci´n del plano tangente a la superficie z = ex ln y en el punto (3, 1, 0).
o
9. El periodo T de un p´ndulo con oscilaci´nes peque˜as est´ dado por T =
e
o
n
ap´ndulo y g la gravedad. Sean L0 y g0 dadas y sean T0 =
e

L
, siendo L la longitud del
g

L0
. Encuentre una expresi´n lineal aproximada
o
g0

de T para valores de L y g cercanos a L0 y...