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Función racional
Las funciones racionales son del tipo:

El dominio de una función racional de lo forman todos los números reales menos los valores de x que anulan el denominador.
Ejemplo




Un tipo de función racional es la función de proporcionalidad inversa de ecuación:
  .

Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las funciones   




Construcciónde hipérbolas
Las hipérbolas    son las más sencillas de representar.
Sus asítontas son los ejes
El centro de la hipérbola, que es el punto donde se cortan las asíntotas, es el origen.


A partir de estas hipérbolas se obtienen otras por traslación.
1. Traslación vertical

El centro de la hipérbola es: (0, a).
Si a>0,  se desplaza hacia arriba a unidades.


El centro de la hipérbolaes: (0, 3)
Si a 0,  se desplaza a la izquierda b unidades.


El centro de la hipérbola es: (-3, 0)
Si b0 y n es impar.
6. Cómo será la gráfica de la función , sabiendo que k>0 y n es par.
7. Cómo será la gráfica de la función  según el valor de k sea positivo o negativo y el valor de n sea par o impar


. FUNCIONES RACIONALES
Una función racional es  f(x)=P(x)/Q(x), donde el numerador yel denominador son formas polinómicas y f(x) es irreducible.
Para analizar una función racional debemos tener en cuenta las siguientes características observables:
El dominio está formado por los valores de R excepto los que anulan el denominador.
Para cada valor de x que anula el denominador tenemos una asíntota vertical: Q(a)=0 x=a es una asíntota vertical de f(x).
Si x=a es una raízsimple de Q(x)=0, las ramas laterales de la asíntota x=a tienen sentidos distintos, una hacia + y la otra a  -. Si x=a es una raíz doble, ambas ramas van o hacia + o hacia -.
Si el grado de P(x) es una unidad mayor que el grado de Q(x) existe una asíntota oblicua, la misma, tanto si x como si x 
Si P(x) y Q(x) tienen el mismo grado, hay una asíntota horizontal en y=m/n siendo m y n loscoeficientes  respectivos de mayor grado de P(x) y Q(x).
Si el grado de P(x) es menor que el de Q(x), hay una asíntota horizontal en y=0.
Podemos encontrar puntos singulares y puntos de inflexión.
 
En el programa siguiente se puede ir siguiendo el proceso constructivo de la funciónf(x)=x3/(x2-1) que es analizada en el ejemplo 1.
Variando el parámetro paso de 1 a 7 irán apareciendo en laescena los distintos elementos  necesarios para poder dibujar la gráfica:
Paso 1: Dominio
Paso 2: Simetría
Paso 3: Cortes con los Ejes coordenados
Paso 4: Regiones
Paso 5: Asíntotas
Paso 6: Puntos singulares y de inflexión.
Paso 7: Trazado de la curva
 

Obsérvese que no es necesario analizar los intervalos de crecimiento y decrecimiento a través del signo de la derivada, ya que al disponerde las regiones, las asíntotas y los puntos de máximo, mínimo y de inflexión, estos se deducen fácilmente: 
x
()
()
()
f(x)
CRECE
DECRECE
CRECE
Los intervalos de concavidad y convexidad también se deducen fácilmente a partir de los elementos obtenidos.
x
()
(-1,0)
(0,1)
(1,)
f(x)
CÓNCAVA
CONVEXA
CÓNCAVA
CONVEXA
Obsérvese cómo la curvatura cóncava oconvexa cambia en el punto de inflexión o en los de discontinuidad.

Ejemplo analizado 1:
Analizar y representar la función f(x)=x3/(x2-1)
a) Dominio: La función no esta definida para x2-x-6=0 -> x=-2, x=3. Df=R- {-1,1}
b) Simetría: La función es Impar pues f(-x)=-f(x), por lo que es simétrica respecto del origen (0,0)
c) Cortes con los ejes:
Eje OX: f(x)=0  x3=0 -> x=0
Eje OY: f(0)=0 -> y=0
d)Regiones:
x
(-,-1)
(-1,0)
(0,1)
(1,+)
x3
-
-
+
+
x+1
-
+
+
+
x-1
-
-
-
+
f(x)
-
+
-
+
e) Asíntotas:
Verticales: x=-1, x=1
Oblicuas: 
=1; =0 y=x
f) Puntos singulares:
f'(x)=x2(x2-3)/(x2-1)2
f'(x)=0  x2(x2-3)=0  x=0; x=; x=-
f(0)=0; f(-)=-; f()=
f''(x)=(2x3+6x)/(x2-1)3
f''(-)0; x= es un mínimo relativo
f''(0)=0, x=0 es un posible...