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Universidad de oriente
Núcleo de Monagas
Escuela de Ciencias Sociales y Administrativas
Maturín edo. Monagas




















PROFESORA: BACHILLER:
EGLIMAR RAMIREZ FABIOLA MORENO
17.091.023





MATURIN, MARZO 2014.

Condición de existencia de máximo y mínimo deuna curva
"Sea  un punto crítico de una función  que es continua en un intervalo abierto  que contiene a. Si  es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en, entonces  puede clasificarse como sigue."
1. Si  ' cambia de positiva a negativa en, entonces  tiene un máximo relativo en.
2. Si  ' cambia de negativa a positiva en, entonces  tiene un mínimo relativo en.
3. Si  ' es positiva enambos lados de  o negativa en ambos lados de c, entonces  no es ni un mínimo ni un máximo relativo. El criterio no decide.
Geométricamente: Los máximos y mínimos de una función de dos variables miden altitudes máximas y mínimas sobre la superficie que constituye la gráfica de la función (son como las otras del punto más elevado de una colina ó del punto más profundo de una hondonada). No tienenporqué existir, sin embargo, lo mismo que el teorema de Weierstrass nos garantizaba la existencia de máximo y mínimo absolutos de una función y = f(x) continua en a,b R  , puede demostrarse que z = f(x,y) continua alcanza su valor máximo y su valor mínimo absolutos en una región A cerrada (incluye el borde) y acotada del plano.
Criterio de la primera derivada para determinar los máximos y losmínimos 
de una función
En el siguiente teorema se establece cómo determinar los valores máximos y los valores mínimos de una función, al estudiar los intervalos en que crece o decrece la función.

 
Teorema 4
 
Sea f una función continua en un intervalo cerrado, que es derivable en todo punto del intervalo abierto. 

Sea c en  tal que  o  no existe.
a.
Si  es positiva para todo, ynegativa para todo, entonces  es un valor máximo relativo de.
b.
Si  es negativa para toda, y positiva para toda, entonces es un mínimo relativo de.
c.
Si  es positiva para todo  y también lo es para todo; o si  es negativa para todo  y a su vez para todo , entonces  no es un valor máximo relativo ni un valor mínimo relativo de .
Prueba: Al final del capítulo.
 
Las situaciones enunciadas en a.,b. y c. pueden representarse gráficamente como sigue:
Máximo relativo en 

Mínimo relativo en 


 

 

En  no hay ni máximo ni mínimo relativo.

Aplicación al estudio de crecimiento o decrecimiento de una curva
La derivada y el crecimiento
La derivada de una función en un punto nos indica el ritmo de cambio de la función en dicho punto. Una consecuencia inmediata es que la derivadanos va a permitir saber si la función crece o decrece en un punto determinado con solo atender al signo de la derivada. Si la derivada es positiva, la variación de la función es positiva, por tanto crece en el punto considerado. Por el contrario, si la derivada es negativa, la variación es negativa, por lo que la función decrece en el punto considerado.
 
Si conocemos la función derivada, elproblema de la determinación de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función se reduce al estudio del signo de su función derivada. Los intervalos en los que la función derivada es positiva se corresponden con intervalos en los que la función primitiva es creciente. Los intervalos en que la función derivada es negativa se corresponden con intervalos en los que la función primitiva esdecreciente.
 
Cuando la derivada en un punto es cero la tangente a la función en dicho punto es horizontal. Pero la tangente puede ser horizontal por diferentes motivos, por lo que interpretar una derivada nula resulta un poco más complejo que cuando es positiva o negativa. Así, puede ocurrir que estemos ante un máximo relativo o un mínimo relativo, o bien que se trate de un punto de inflexión...