la civica

Teoría elemental de conjuntos

 
Lógica proposicional

Una proposición es cualquier enunciado lógico al que se le pueda asignar un valor de verdad (1) o falsedad (0).
Dada una proposición p, se define la negación de p como la proposición p' que es verdadera cuando p es falsa 
y que es falsa cuando p es verdadera. Se lee "no p".
A partir de una o varias proposiciones elementales se puedenefectuar diversas operaciones lógicas para construir 
nuevas proposiciones; en este caso, se necesita conocer su valor de verdad o falsedad en función de los valores de 
las proposiciones de que se componen, lo cual se realiza a través de las tablas de verdad de dichas operaciones. 
Por ejemplo, la tabla de verdad de la negación es la siguiente: 
  
 
p
p'
1
0
0
1
A continuación sedescriben las principales operaciones lógicas entre dos proposiciones p,q y sus tablas de verdad:
        Conjunción: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q son verdaderas, y falsa en cualquier otro caso. 
                            Se escribe p  q, y se lee "p y q". 
  
 
p
q
p  q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
        Disyunción: es aquella proposición que esverdadera cuando al menos una de las dos p o q es verdadera, 
                            y falsa en caso contrario. Se escribe p  q, y se lee "p o q". 
  
 
p
q
p  q
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
        Disyunción exclusiva: es aquella proposición que es verdadera cuando una y sólo una de las dos p o q es verdadera, 
                            y falsa en cualquier otro caso. Se escribep  q, y se lee "p o q pero no ambas". Se usa muy poco. 
  
 
p
q
p  q
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
        Condicional: es aquella proposición que es falsa únicamente cuando la condición suficiente p es verdadera y la 
                        condición necesaria q es falsa. Se escribe p  q, y se lee "si p entonces q". 
  
 
p
q
p  q
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1        Bicondicional: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad, 
                            y falsa en caso contrario. Se escribe p  q, y se lee "si y sólo si p entonces q". 
  
 
p
q
p  q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Una proposición se dice que es una tautología si su valor de verdad es siempre 1 independientemente de los valores 
de lasproposiciones que lo componen; por ejemplo: p  p'.
Una proposición se dice que es una contradicción si su valor de verdad es siempre 0 independientemente de los valores 
de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p  p'.
Una paradoja es una proposición a la que no se le puede asignar ningún valor de verdad; suelen estar relacionadas con 
incorrecciones en el lenguaje lógico. Por ejemplo:p="la proposición p es falsa". 
 
Dos proposiciones p y q se dicen equivalentes si tienen la misma tabla de verdad en función de las proposiciones elementales 
que lo componen; esta definición equivale a decir que la proposición p  q es una tautología. Por ejemplo, las proposiciones
                p  q
y
                q'  p'
son equivalentes. Esta ley se llama "ley del contrarrecíproco",y se usa en los razonamientos por reducción al absurdo. 
Se pueden obtener fácilmente más "resultados lógicos" a través de su relación con la teoría de conjuntos. 
  
  
 
 
 
Números naturales : principio de inducción

Admitivos como intuitivo el concepto de número natural; así, podemos enumerar los números naturales en orden creciente:
N = { 1,2,3,4,5, ... }
Cuando se quieredemostrar que una proposición relativa a números naturales es cierta, se necesita el Principio de Inducción:
        "Sea S el conjunto de números naturales para los que la proposición p(n) es cierta; supongamos que
m  S
        y que
n S  n+1  S
        Entonces S = { m,m+1,m+2, ... }"
(es decir, la propiedad se verifica para todo número natural a partir de m; normalmente se usa con m...