La Cosa

Mira, el calculo integral sirve para calcular areas, volumenes de fomra exacta por medio de infinitesimos, ques es esto?, bueno imagina una curva mas o menos com la forma de la funsion SENO o COSENO, si quieres saber el area que ocupa esta curva podrias calcular de varias formas, la que primero haras sera ver el alto y el largo que ocupa y mas o menos tantear desde ahi, ahora bien, el calculointegral es eso mismo, "dibujas" por asi decirlo cuadraditos pequeñitos, tu sabes el area de un cuadrado a*b, entonces vas sumando "integrando" la suma de todos esos cuadraditos y asi tienes el area, cuanto mas pequeñitos sean estos cuadraditos mas exacto sera el area, bueno pues, el calculo integral es la suma de ina cantidad infinita de cuadraditos que al integrarlos "sumarlos" te daran el area,estos cuadraditos no podrias dibujarlos asi que lo que se hace es una funcion que representa el area bajo la curva, esta función sera la curva misma que quieres saber el area y los limites que los comprende, ese es el calculo integral, puedes hacerlo en 3 dimensiones y ya tienes el volumen de un solido.
Como ves es facil solo es cuestion de saber poner bien los limites de la funsion y la funsionmisma, ten mucho cuidado cuando te enseñen eso y te aseguro que podras resolverlo todo.

Cálculo integral
 

 
El cálculo integral se basa en el proceso inverso de la diferenciación, llamado integración. Dada una función f, se busca otra función F tal que su derivada es F¢ = f; F es la integral, primitiva o antiderivada de f, lo que se escribe F(x) = òf(x)dx o simplemente F = òf dx (estanotación se explica más adelante). Las tablas de derivadas se pueden utilizar para la integración: como la derivada de x2 es 2x, la integral de 2x es x2. Si F es la integral de f, la forma más general de la integral de f es F + c, en donde c es una constante cualquiera llamada constante de integración; esto es debido a que la derivada de una constante es 0 por lo que (F + c)¢ = F¢ + c¢ = f + 0 = f. Porejemplo, ò2x dx = x2 +c. Las reglas básicas de integración de funciones compuestas son similares a las de la diferenciación. La integral de la suma (o diferencia) es igual a la suma (o diferencia) de sus integrales, y lo mismo ocurre con la multiplicación por una constante. Así, la integral de x = ½·2x es ½x2, y de forma similar òxm dx = xm+1/(m + 1) para cualquier m ¹ -1 (no se incluye el casode m = -1 para evitar la división por 0; el logaritmo neperiano ln|x| es la integral de x-1 = 1/xpara cualquier x ¹ 0). La integración suele ser más difícil que la diferenciación, pero muchas de las funciones más corrientes se pueden integrar utilizando éstas y otras reglas (ver la tabla). Una aplicación bien conocida de la integración es el cálculo de áreas. Sea A el área de la región delimitadapor la curva de una función y = f(x) y por el eje x, para a £ x £ b. Para simplificar, se asume que f(x) ³ 0 entre a y b. Para cada x ³ a, sea L(x) el área de la región a la izquierda de la x, así es que hay que hallar A = L(b). Primero se diferencia L(x). Si h es una pequeña variación en la x, la región por debajo de la curva entre x y x + h es aproximadamente un rectángulo de altura f(x) yanchura h(véase figura 3) el correspondiente incremento k = L(x + h) - L(x) es por tanto, aproximadamente, f(x)h, por lo quek/h es, aproximadamente, f(x). Cuando h ± 0 estas aproximaciones tienden hacia los valores exactos, así es que k/h± f(x) y por tanto L¢(x) = f(x), es decir, L es la integral de f. Si se conoce una integral F de f entonces L = F + c para cierta constante c. Se sabe que L(a) = 0(pues el área a la izquierda de la x es cero si x = a), con lo que c = -F(a) y por tanto L(x) = F(x) - F(a) para todas las x ³ a. El área buscada, A = L(b) = F(b) - F(a), se escribe

 
Éste es el teorema fundamental del cálculo, que se cumple siempre que f sea continua entre a y b, y se tenga en cuenta que el área de las regiones por debajo del eje x es negativa, pues f(x) < 0. (Continuidad...