La crisis de Fujimori

Graficar, determinando: Dominio, Asíntotas, intervalos de crecimiento, Extremos Relativos, Intervalos de Concavidad y Puntos de Inflexión y Rango:
Función f (x) = x 4 - 2x 2

Dominio: x ε R

Cortes con los ejes Coordenados:
Con el eje X:
si y=0 → x=0 y x= ± √2 entonces los puntos son : (0,0),

Con el eje Y:
Si x=0 → y=0 , el punto es: (0,0)

ASINTOTAS: No tiene, es poli nómica
SIMETRIA: Es Par ( Es simétrica con respecto al eje Y) Extremos Relativos:
Derivando:

Puntos Criticos:
a) ,

Resolviendo: x= 0, +1, -1

intervalo Signo derivad Crecimiento
- Decrece
< -1, 0> + crece
< 0,1 > - Decrece
< 1, +∞> + crece

EXTREMOS RELATIVOS
Máximo: (0, 0);
Mínimos: (1 -1), (-1, -1



Concavidad y puntosde Inflexión:
Derivando la deriva de f(x)

Puntos Criticos de Inflexión:
a) ,

Resolviendo: x= +√3, y x= -√3, son P.C

intervalo Signo. 2º derivada
Concavidad
+ Hacia arriba
- Hacia abajo
+ Hacia arriba


Puntos de Inflexión:



GARFICA DE LA FUNCION












Rango: y 


FunciónDominio: R - {-1,1}

Corte con los ejes:
Con el eje X:
Si y=0 x=0, el punto es (0,0)
Con el eje Y:
Si x=0 y=0, el pto es (0,0)

Simetrías: Existe con el origen
f(-x) = - f(x)

ASINTOTAS:
1,- A. Horizontales:

No existen, Gr(N)> Gr(D)

2.- A. Verticales
Denominador=0, x2-1=0
Resolviendo: A:V: x =-1, x=1


3.- A. Oblicuas,
sihay , Grd(N) = Grad(D)+1
Hay A.O. a la Derecha y a la Izquierda ver el Df

Calculo de la : A.O.D:
,
Entonces: m = 1


, calculando


Entonces b = 0
Asuntota Oblicua a la Derecha: y=x

De igual forma se obtenemos,
la A.O. a la Izquierda: y = x


Extremos Relativos:
Calculo de los puntos criticos:Derivando la funcion:
, entonces:

a) → x= 0, x= ±√3
como son del Df son P.C

b)
x2 - 1=0 → x= 1, x= -1
como no son del Df no son P.C

son P.C: 0, ±√3





Concavidad y Ptos de Inflexión

Derivando la 1º derivada, tendremos:
Puntos criticos de inflexión:

a) Donde ,

Obtenemos: x =0

b) Donde
observe que no hay los valores queanulan el denominador no son del Df




















intervalo Signo 1º derivada Crecimiento
+ Crece
- Decrece
< -1, 0 > - Decrece
< 0, 1> - Decrece
- Decrece
+ Crece

Entonces tendremos :

Extremos Relativos:
Máximo: , Mínimo:







intervalo Signo 2º derivada concavidad
< -∞, -1> + Cóncava
- Convexa
< 0, 1> + Cóncava
-convexa

GRAFICA DE LA FUNCION:


















Rango: y  R



1.- Gráficar
1. Dominio

Se necesita: lo cual se cumple cuando
2. Intersección con los ejes:

Eje X: , luego en el punto interseca al eje x.

Como también en interseca al eje Y.
3.- ASINTOTAS HORIZONTALES
a) AHD
:
b) AHÍ:


de a) y b) no existen asintotashorizontales, pèro puede tener asintotas oblicuas.

4.- ASINTOTAS VERTICALES
Posibles Asintotas Verticales x2-4 = 0 x=-2 o x=2
Analicemos los limites cuando x → -2- y x→ 2+



a) b)

de a) y b) tenemos que:
x=2 es AVD y x=-2 es AVI



5.- ASINTOTAS OBLICUAS: y =mx + b
AOD:
Calculo de m:

dedonde m= 1
Calculo de b:




, de donde b= 0. Entones AOD: y = x
ASINTOTAS OBLICUAS A LA IZQUIERDA
Calculo de m:

de donde m = 1

Calculo de b:



, de donde b = 0

Luego, la recta con ecuación y = x es AOI.



6.- Extremos relativos
Hallemos la derivada:
(¡Compruébelo!)

PUNTOS CRITICOS: son: -√8 y √8...