La Derivada Como Razon De Cambio

La derivada como razón de cambio
Si una variable y depende del tiempo t, entonces su derivada
dydt
Se denomina razón de cambio respecto al tiempo, ó solorazón de cambio. Por supuesto, si y mide la distancia, entonces está razón de cambio también se llama velocidad.
Si una partícula se mueve a lo lardo de unarecta de acuerdo con la ecuación de movimiento s= f(t), entonces la velocidad de la partícula a las t unidades de tiempo está determinada por la derivada de s conrespecto a t. este concepto de velocidad en el movimiento rectilíneo corresponde al concepto más general de tasa instantánea de variación; esto es, la tasa devariación de s por unidad de t es la derivada de s con respecto de t.
De manera semejante, si una cantidad y es función de una cantidad x, se puede expresar latasa de variación de y por unidad de variación de x.
Si la relación funcional entre y y x está dada por
y=f(x)
Y si x varía del valor x1 al x1+Δx, entoncesvaría de f(x1) a f(x+Δx). De modo que la variación de y, denotada por Δy, es f(x1+Δx)-f(x1) cuando la variación de x es Δx. La tasa promedio de variación de ypor unidad de variación de x, conforme a x varía de x1 a x1+Δx, está dada por
fx1+∆x-f(x1)∆x=∆y∆x
Si el límite de este cociente exite cuando Δx0, este límitesel que se considera como la tasa instantánea de variación de y por unidad de x en x1. En consecuencia se tiene la siguiente definición:
Si y= f(x), entoncesla tasa de variación instantánea de y por unidad de variación de x en x1 es f’(x1) o, equivalentemente, la derivada de y con respecto a x en x1, si está existe.