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Caracas, Febrero de 2013

Introducción

Es común encontrar en mecánica problemas que estén relacionados con vibraciones, los cuales pueden estar originados por movimientos telúricos. Esta problemática debe ser resuelta en el momento de diseñar la estructura de manera que la construcción sea segura tanto paralas demás estructuras circundantes como para las personas que habitarán o trabajarán en la misma.

El diseño estructural depende mucho de un elemento clave: La viga. Las vigas forman el esqueleto de la obra. Su comportamiento bajo la influencia de una fuerza de excitación es de gran importancia para los constructores, quienes pueden ensayar, considerando las vigas como un elemento de mediocontinuo, condiciones de resonancia que podrían poner en riesgo la estabilidad de la estructura.



















Objetivos

El objetivo de esta práctica es estudiar el cálculo de la frecuencia natural en medios continuos, partiendo de vibración de una viga empotrada libre (voladizo), sometida vibración.

Objetivos Específicos:
Comparar la frecuencia natural teórica delsistema, con la frecuencia experimental obtenida en el laboratorio.

Marco Teórico

Vibraciones en Medios Continuos
Son los sistemas que poseen masa y elasticidad continuamente distribuidas y que además son cuerpos homogéneos e isotrópicos y que por lo tanto obedecen la ley de Hooke dentro del límite elástico.
Los sistemas que cumplen con lo antes expuesto son entre otros: cuerda vibrante,vibraciones longitudinales de barras, vibraciones torsionales de barras, vibración de membranas, etc. Todos estos sistemas tienen vibraciones en medio continuo.

Ecuaciones de Euler para Vigas
Sirve para determinar la ecuación diferencial de vibraciones laterales de vigas, se considera las fuerzas y momentos actuando en un elemento de viga.

V y M son fuerza cortante y momento flector,respectivamente y p(x) es la carga por unidad de longitud de la viga.

Sumando fuerzas en la dirección y  dV – p (x) dx = 0

Sumando momento con respecto a cualquier punto en la cara derecha del elemento:
dM – Vdx – ½ p(x) (dx)2 = 0
En el proceso de límite estas ecuaciones resultan en:
dV/dx = p(x); dM/dx = V
La primera parte de esta ecuación establece que la rata de cambio decortante a lo largo de la viga es igual a la carga por unidad de longitud y, la segunda parte establece que la rata de cambio del momento a lo largo de la viga es igual a la fuerza cortante. De esto se obtiene lo siguiente:
d2M/dx2 = dV/dx = p(x)
El momento flector esta relacionando con la curvatura por medio de la curvatura por medio de la ecuación de la flexión que, para las coordenadas indicadas enla figura es:
M = EI d2 y/dx2
Sustituyendo está en la anterior queda:
d2[EI d2y/dx2] / dx2 = p(x)
Para una viga que vibra con respecto a su posición de equilibrio estático, bajo su propio peso, la carga por unidad de longitud es igual a la carga de inercia debida a su masa y aceleración. Como la fuerza de inercia está en la misma dirección de p(x). Se tiene suponiendo movimiento armónicoP(X) =  2 y
En donde  es la misma por unidad de longitud de la viga. Usando esta relación, la ecuación para la vibración lateral de la viga se reduce a:
d2[EI d2y/dx2] -  2 y = 0

Sustituyendo: 4 =  2 / (EI) (A)

se obtiene la ecuación diferencial de cuarto orden
d4y/dx4 - 4y = 0
Se supone una solución de la forma: y = eax que satisface la ecuacióndiferencial cuando:
a =   y a =  j
como: e x = cosh x  senh x
e x = cos x  jsen x
Entonces, para la vibración de una viga uniforme, la solución general es:
Y = A cosh x + B senh x + C cos x + D sen x
Las frecuencias naturales de vibración se encuentran con la ecuación (A) y da:
fn = 2n = (n L)2
o también:
fn = B
En donde B depende del tipo de apoyo y del modo...