Lab De Quimica

Circunferencia que pasa por tres puntos
En la sección Ecuaciones de las rectas notables del triángulo calculamos el punto donde se intersectan las tres mediatrices de los lados de un triángulo. Este punto, llamado circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Condiciones analíticas y geométricas
Observa que cualquier punto P que pertenece a la mediatriz de unsegmento está a la misma distancia de los extremos del segmento sobre la cual se le construyó: y

4

.c

3

om

at em

2

CP

at

ic

w

w

C

.M

1

a1

P

M

e

iz tr ia d

AP

w

x

−3

−2

−1 −1

0

1

2

3

4

−2

A

Si dibujamos un triángulo y trazamos las mediatrices de dos de sus lados, el punto donde se intersectan está a lamisma distancia de los tres vértices.

y 6 5 4 3 2 C 1 ˜ C B

M

ed

t ia

riz

M

ed

ia

tr

iz
x 4

−3

−2

−1 −1

0

1

2

3

 De manera semejante, por pertenecer a la mediatriz del lado BC, está a la misma distancia ˜ ˜ del vértice B como del vértice C. Matemáticamente esto se denota por: | BC | = |C C |. ˜ ˜  Pero ya se había dicho que | AC | = |C C |.Entonces ˜ ˜ ˜ | AC | = | BC | = |C C | ˜  Esto obliga a la mediatriz del lado AB a pasar por el punto C, porque está a la misma distancia de los vértices A y B.  En conclusión, el punto donde se intersectan las tres mediatrices está a la misma distancia de los tres vértices. Esto nos ayuda porque si dibujamos una circunferencia con centro en el circuncentro del triángulo, y radio igual a ladistancia del circuncentro a cualquiera de los vértices del triángulo, la circunferencia pasará por los tres vértices. El triángulo queda inscrito a la circunferencia y decimos que la circunferencia está circunscrita al triángulo. Por esta razón el punto donde se intesectan las tres mediatrices de un triángulo se llama circuncentro.

w

w

w

.M

 Por pertenecer a la mediatriz del lado ACestá a la misma distancia del vértice A como del ˜ ˜ vértice C. Es decir | AC | = |C C |.

at em

at

˜  El punto C es el punto donde se intersectan las dos mediatrices trazadas.

ic

a1

A

.c

−2

om

y 6 5 4 B

Medi

atriz 3
2

M

ed

t ia

riz

C

1
ia ed M iz tr

−3

−2

−1 −1

x 5 6

0

1

2

3

4

Sin embargo hay otro método mássencillo. Como la ecuación de la circunferencia en su forma general es: x 2 + y2 + D x + E y + F = 0 donde: D = −2 h, E = −2 k, y F = h2 + k2 − r2 . Como sabemos que la circunferencia debe pasar por los tres vértices, podemos sustituir sus coordenadas en la ecuación y así obtendremos tres ecuaciones, una por cada vértice y al resolver ese sistema de ecuaciones lineales encontraremos las incógnitas,que son D, E y F. Una vez que conozcamos los valores de estas incógnitas podremos calcular los valores que nos interesan: h, k y r.

Obtención de la ecuación dados tres puntos
Supongamos que queremos calcular la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A( x a , y a ), B( xb , yb ) y C ( xc , yc ). Al sustituir en la ecuación de la circunferencia en su forma general obtenemos lassiguientes ecuaciones: xa D + ya E + F xb D + yb E + F xc D + yc E + F

w

w

w

Esto nos sugiere que para calcular la ecuación de una circunferencia circunscrita a un triángulo dados los vértices del mismo encontremos las ecuaciones de dos de sus mediatrices, después el punto donde se intersectan. Este punto será el centro de la circunferencia. Para calcular el radio podemos calcular ladistancia del cincuncentro a cualquiera de los vértices del triángulo y entonces podremos calcular la ecuación de la circunferencia.

.M

at em

Al resolver este S.E.L. encontramos los valores de D, E y F. Usando las definiciones: D = −2 h, E = −2 k, y F = h2 + k2 − r2 podemos calcular los valores que nos interesan.

at

ic

a1
= −( x2 + y2 ) a a
2 = −( xb + y2 ) b 2 = −( xc + y2 ) c...