lab fisica

Oscilaciones de una cuerda tensa
OBJETIVOS
1. Determinar los modos normales de vibración de una cuerda fija en ambos extremos.
2. Verificar experimentalmente la relación de las frecuencias en estado de resonancia de las cuerdas con respecto a los parámetros: tensión, longitud y densidad.
3. Encontrar la densidad de la cuerda utilizada.
INTRODUCCION
Considérese una cuerda de longitud L ydensidad lineal de masa μ, sujeta en los extremos x = 0 y x = L. La cuerda se hace oscilar en un punto por medio de un vibrador conectado a un generador de ondas sinodales. En estas condiciones, el sistema se constituye en un oscilador forzado. Un análisis de las ondas incidentes y reflejadas que se forman en la cuerda lleva a la siguiente función de onda como solución de la ecuación diferencialunidimensional de onda:
ψ(x, t) = (ASenkx +BCoskx) Sen ωt. (3.1)
Claramente ψ(x, t) no describe una onda viajera ya que x y t no están involucrados en el argumento de esta función en la forma (x ± vt). Esto da como resultado una amplitud que tiene la característica de ser fija para cada punto particular de la cuerda, pero variable de un punto a otro a lo largo de la misma. La expresión para laamplitud será entonces:
φ(x, t) = (ASenkx +BCoskx). (3.2)
Las constantes A y B se determinan con las condiciones iníciales.
Asi la expresion:
ψ(x, t) = φ(x)Sen ωt
Indica que cada punto de la cuerda tiene un movimiento armónico transversal de frecuencia ω.
Cuando la cuerda esté en resonancia con el agente externo que produce el movimiento, se presentarán los distintos modos propios de oscilacióny los desplazamientos transversales tendrán su máxima amplitud.
Para encontrar las frecuencias fn correspondientes a los modos propios de oscilación se utilizan las siguientes condiciones de frontera:
• ψ(0,t)=0,
• ψ(L,t)=0.
De la primera condición de frontera se obtiene:
[ASenk(0) +BCosk(0)]Sen ωt = BSenωt = 0.
Por lo tanto B = 0 y la ecuación (3.1) queda de la siguiente manera:
ψ(x, t) =ASenkxSenωt.
De la segunda condición de frontera:
ASenkLSenωt = 0.
En esta ecuación A y Sen ωt deben ser diferentes de cero. Por tanto:
Sen kL = 0.
Lo cual es válido para kL = nπ con n = 1, 2, 3...
Figura 3.1: Ondas estacionarias en la cuerda.
Utilizando las expresiones del movimiento ondulatorio k = 2π λ y v = λf, donde k y
v son el número de onda y la velocidad de propagación de la ondarespectivamente, se obtiene la siguiente expresión para las frecuencias correspondientes a los modos propios de oscilación de la cuerda:
fn = nv/2L

De la dinámica asociada a las ondas transversales en una cuerda, su velocidad de propagación a lo largo de la misma está dada por:
v =(T/μ)^(1/2)
.
Siendo T la tensión en la cuerda. La expresión para las frecuencias propias queda endefinitiva fn =n/2L(T/μ)^(1/2), (3.3) donde n = 1 corresponde al modo fundamental: f1 = 1/2L(T/μ)^(1/2) y n = 2 corresponde al segundo armónico, n = 3 al tercero y así sucesivamente, siendo cada uno de estos múltiplos de la frecuencia fundamental en la forma: f2 =2f1, f3 = 3f1 ... y así sucesivamente. También n es el número de vientres de las ondas estacionarias.

Figura 3.1: Ondas estacionarias en lacuerda.
Utilizando las expresiones del movimiento ondulatorio k = 2π λ y v = λf, donde k y v son el número de onda y la velocidad de propagación de la onda respectivamente, se obtiene la siguiente expresión para las frecuencias correspondientes a los modos propios de oscilación de la cuerda:
fn = nv/2L

De la dinámica asociada a las ondas transversales en una cuerda, su velocidad de propagacióna lo largo de la misma está dada por:
v = (T/μ)^1/2

Siendo T la tensión en la cuerda. La expresi´on para las frecuencias propias queda en definitiva
fn = n/2L(T/μ)^1/2 , (3.3)
Donde n = 1 corresponde al modo fundamental:
f1 = 1/2L(T/μ)^1/2
y n = 2 corresponde al segundo armónico, n = 3 al tercero y así sucesivamente, siendo cada uno de estos múltiplos de la frecuencia fundamental en la...