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UNIVERSIDAD ESTATAL DE CUENCA

TEMA:
EL MAPEO

MATERIA:
ANALISIS MATEMATICO

PROFESOR:
ING. JUAN SANANGO

ALUMNOS:
FABIAN NAULA
JUAN NACIPUCHA

FECHA DE ENTREGA:
5 DE JULIO DEL 2012

CONCEPTO DE MAPEO
Mientras que con las representaciones de magnitud, fase, componentes real e imaginaria de funciones de valor y variable compleja se intenta observar como varían individualmenteestas con respecto a todo el plano complejo, con los llamados mapeos se estudia como es transformada una región especifica del plano z (que puede ser una recta, una banda, etc.) en otra región del plano w cuando se aplica w=f(z).
La idea de forma general de mapeo o transformación que realiza una función entre los conjuntos X y Y provee otro modo de visualización y análisis que se utilizafrecuentemente en ingeniería para simplificar modelos geométricos relativamente complejos.
Como función o mapeo inverso de w=f(z) se conocea aquel que logra recobrar el valor de z a partir de su imagen, y se denota como z=f-1w, es decir:
w=fz→z=f-1w= f-1(fz)
No toda función tiene un inverso, pero en la rama de ingeniería son aquellas funciones invertibles las que tiene una mayor aplicación en diversoscasos.
Se denomina como punto fijo del mapeo o función f, aquel donde se cumple w=z, es decir, un punto que no cambia luego de aplicar la transformación f.
Como se muestra en la grafica es una representación del mapeo de una función del plano z al plano w:

TRANSFORMACIONES CONFORMES

Transformaciones fraccionarias lineales (Transformaciones de Möbius)

w=az+bcz+d (1)Las transformaciones fraccionarias linéales son mapeos en donde a, b c, d son números complejos reales. Estos mapeos tienen importancia practica para las aplicaciones a problemas con valores en la frontera, ya que son necesarios para transformar discos de manera conforme sobre semiplanos o sobre otros discos y recíprocamente, como se vera.
La condición ad-cb≠0en (1)se vuelve evidentemente sise deriva:

w´=acz+d-c(az+b)(cz+d)2=ad-bc(cz+d)2

Se observa que ad-cb≠0 implica que no es cero en ninguna parte, por lo que el mapeo(1) es conforme en todas partes. Con base en ad-cb=0 es posible obtener el caso sin interés alguno en que w´es idénticamente cero, que se excluirá de una vez por toda. El análisis comenzara con casos especiales de (1).



1. Traslación, rotación,expansión y contracciones.

Se da cuando (1) es de la forma w=z+b y w=az
Es una traslación cuando w=z+b
Es una rotación cuando a=1
Es una expansión o dilatación cunado a>1 real.
Es una contracción para 0<a<1
Estos también son casos especiales de la transformación lineal w=az+b

2. Inversión. Mapeo de w=1/z

Este caso es mejor estudiarlo en términos decoordenadas polares:

Rei∅=1reiθ y se obtiene R=1r, ∅=θ

Esta transformación eta dado en una circunferencia unitaria w=1

Ejemplo: Representación de una línea con el mapeo w=1/z


Teorema:Toda transformación fraccionaria lineal (1) mapea todas las circunferencias y rectas en el plano z sobre todas las circunferencias y rectas en el plano w.

Puntos fijos: Lospuntos fijos en una transformación w=f(z) son puntos papeados sobre ellos mismos; es decir, que se mantienen fijos bajo la transformación. Por tanto, se obtiene a partir de:

w=fz=z

El mapeo identidad w=z tiene todo punto fijo.

Teorema: Una transformación fraccionaria lineal, no la identidad, tiene cuando mucho dos puntos fijos. Si se sabe que una transformación fraccionaria lineal tienetres o mas puntos fijos, entonces debe ser el mapeo identidad w=z.

Transformación bilineal

Las bilineales son mapeos en donde a, b c, d son números complejos reales. Donde podemos interpretar como la sucesión de todos los mapeos de la sección anterior.

Si de (1) multiplicamos az por c/c y sumamos ad/c/ad/c y expresamos la ecuación como.

w=ccaz+b+adc-adccz+d=accz+d-adc-bcz+d...