lalalalal









TRIÁNGULO (líneas y puntos notables)
ALTURA
Es el segmento perpendicular trazado desde una vértice al lado opuesto o a su prolongación. En todo triángulo se pueden trazar tres alturas, las cuales se cortan en un punto que recibe el nombre de “Ortocentro”. el cual se ubica:

a. En el interior del triángulo,
en el caso de
triángulo acutángulo.




b. En el vértice delángulo recto, en el caso de
triángulo
rectángulo.





c. Fuera de triángulo, en el caso de triángulo obtusángulo.










MEDIANA
Es el segmento de recta que une una vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto. En todo triángulo se pueden trazar tres medianas, las cuales se cortan en un punto interior al triángulo que recibe el nombre de “Baricentro”,“Centroide” o “Centro de Gravedad”.

Propiedad del Baricentro:
En todo triángulo, el baricentro divide a cada mediana en dos partes cuya relación es 2 a 1.








Así, en el triángulo ABC, cuyo baricentro es G, se verifica que:
AG = AM ; BG = BP ; CG = CN

Mediana relativa a la hipotenusa de un Triángulo Rectángulo
La mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide lamitad de la hipotenusa.






AM =


Además, se forman dos triángulos isósceles (ABM y AMC)
BISECTRIZ
Es el rayo que parte de un vértice y divide al ángulo en dicho vértice en dos ángulos congruentes.

En todo triángulo se pueden trazar tres bisectrices de los ángulos interiores (bisectrices interiores), las cuales se cortan en un punto interior al triángulo que recibe el nombre de“Incentro”.

Propiedad de la Bisectriz:
Todo punto situado sobre la bisectriz de un ángulo equidista de los lados de dicho ángulo.








En la figura. OM : bisectriz del ángulo AOB

Si : P  OM, Entonces: PQ = PR OQ = OR

* Lo recíproco de este problema es cierto.

Propiedad del Incentro:
El incentro equidista de los tres lados del triángulo y además, es el centro de lacircunferencia inscrita en el triángulo. El radio de la circunferencia recibe el nombre de “Inradio” r.


I - incentro

IH = IJ = IK = r


r – radio de la circunferencia inscrita (inradio)

MEDIATRIZ
Es la recta perpendicular a un lado del triángulo, trazada desde su punto medio. En todo triángulo se pueden trazar tres mediatrices, las cuales se cortan en un punto llamado “Circuncentro”,el cual se ubica:

a. En el interior del triángulo, en el caso de triángulo acutángulo.






b. En el punto medio de la hipotenusa en el caso de triángulo rectángulo.







c. Fuera del triángulo, en el caso de triángulo obtusángulo.







Propiedad de la Mediatriz:
Todo punto situado sobre la mediatriz de un segmento equidista de los extremos del segmento.Propiedad del Circuncentro:
El circuncentro equidista de los tres vértices del triángulo y además, es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. El radio de la circunferencia recibe el nombre de “circunradio”.



P – circuncentro
AP = BP = CP = R
R – radio de la
circunferencia circunscrita
( Circunradio )


PROPIEDADES
1. En un triángulo isóscelesse cumple:


Altura
Mediana
Bisectriz
Mediatriz




2. En un triángulo equilátero; el ortocentro, baricentro, incentro y circuncentro coinciden en un mismo punto interior del triángulo.


Ortocentro
Baricentro
Incentro
Circuncentro






3. En un triángulo rectángulo el ortocentro, baricentro y circuncentro se alinean a lo largo de la mediana relativa a la hipotenusa.PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS CON LAS LÍNEAS NOTABLES

1.


 = 90° +






2.
 =








3.







4.

 =




5.





X =  - 


EJERCICIOS PROPUESTOS

1. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM cuya longitud es igual a 3. calcular la medida del ángulo BAC, si AB = 4 y AC = 10.
A) 33°...