Lalalalala

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ
FILIAL AREQUIPA










INGENIERIA DE SISTEMAS E INFORMATICA


CURSO:

METODOS NUMERICOS

TEMA:

METODO DE ROMBERG

PRESENTADO POR:


JUAN VICTOR LUQUE POZO


CICLO: V

TURNO: TARDE


AREQUIPA – PERU

2012
Integración de Romberg
INTEGRACIÓN DE ROMBERG  
La integración de romberg es una técnica diseñada para obtener integrales numéricas de funciones demanera eficiente, que se basa en aplicaciones sucesivas de la regla del trapecio. Sin embargo, a través de las manipulaciones matemáticas, se alcanzan mejores resultados con menos trabajo.
EL ALGORITMO DE INTEGRACIÓN DE ROMBERG.
Observe que los coeficientes en cada una de las ecuaciones de extrapolación  suman 1. De esta manera, representan factores de ponderación que, conforme aumenta la exactitud,dan un peso relativamente mayor a la mejor estimación de la integral. Estas formulaciones se expresan en una forma general muy adecuada para la implementación en computadora:
[pic]
Donde 1ʲ+1k-1 eIjk-1 =  las integrales más y menos exactas, respectivamente; e Ijk=Ia integral mejorada. El subíndicek significa el nivel de la integración donde k=1 corresponde a la estimación original con la regla deltrapecio, k=2corresponde a 0(h⁴), k=3 a 0(h⁶) y asi sucesivamente. El subíndice j se usa para distinguir entre las estimaciones mas (j+1) i meno (j) exactas. Por ejemplo, con k=2 y j =1, la ecuación (22.8) se convierte en 
[pic]
Que es equivalente a la ecuación 
La forma general representada por la ecuación  se atribuye a Romberg, y su aplicación sistemática para evaluar integrales se denominaintegración de Romberg. La figura 22.3 es una representación grafica de la sucesión y estimaciones de la integral generadas usando este procedimiento. Cada matriz corresponde a una sola iteración.
La primera columna contiene las evaluaciones de la regla del trapecio, designadas por I j,1 , donde j=1 indica una aplicación con un solo segmento (el tamaño de paso es b-a) , j=2 corresponde a unaaplicación con dos segmentos [el tamaño de paso es (b-a)/2], j=3 corresponde a una aplicación de cuatro segmentos [el tamaño de paso es (b-a)/4], y así sucesivamente. Las otras columnas de la matriz se generan mediante la aplicación sistemática de la ecuación para obtener sucesivamente mejores estimaciones de la integral.
Si TN.1es el valor calculado de la integral (en donde 2N corresponde al número deintervalos los de 1 es el orden del polinomio de interpolación usado):
[pic] 
Usado para el cálculo numérico la formula de los trapecios. T0, 1 seria el primer estimado; es decir, usando directamente las formulas de los trapecios;
[pic] 
T1,1 seria el estimado para dos intervalos idénticos de ancho (b-a)/2:
[pic] 
Simplificado,
[pic]
 En general:
[pic] 
La formula de extrapolación de Richardson puedeser utilizada para cada par de secuencia T0,1,…..TN,1. Por ejemplo:
[pic] 

En general,[pic] 
La secuencia del método de Romberg que explicada, puede ser presentada en forma tabular como s inicia a continuación:
Construcción de la tabla de Romberg
|i/j |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |
|0 |T0,1|T0,2 |T0,3 |T0,4 |T0,5 |T0,6 |T0,7 |
|1 |T1,1 |T1,2 |T1,3 |T1,4 |T1,5 |T1,6 |  |
|2 |T2,1 |T2,2 |T2,3 |T2,4 |T2,5 |  |  |
|3 |T3,1|T3,2 |T3,3 |T3,4 |  |  |  |
|4 |T4,1 |T4,2 |T4,3 |  |  |  |  |
|5 |T5,1 |T5,2 |  |  |  |  |  |
|6 |T6,1 | ...