Laplace

TRANSFORMADA DE LAPLACE
DEFINICION
La transformada de Laplace es una ecuación integral que involucra para el caso específico del
desarrollo de circuitos, las señales en el dominio del tiempo y de la frecuencia, relacionándolas
como:

a este par de ecuaciones se les llama la transformada bilateral de Laplace, pues es válida para
valores positivos y negativos de t; no obstante, el interés enel análisis de circuitos se centra en
funciones que comienzan en un tiempo que se podría llamar inicial. Bajo esta consideración
podemos “redefinir” la transformada como:

llamando este par ahora como transformada unilateral de Laplace. Para asegurar que las
funciones que vamos a utilizar tengan transformada, estas deben cumplir básicamente con dos
condiciones:
1. la función v (t) debe serintegrable en todo el intervalo finito donde:

2. El límite:

existe para algún valor de

.

TEOREMAS Y PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE I
LINEALIDAD: la transformada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las
transformadas.

1

LINEALIDAD:
Dadas dos funciones en el tiempo f1(t) y f2(t), se desea hallar la transformada de Laplace de la
suma de dichasfunciones.

Cuando una función está multiplicada por una constante, la propiedad de las integrales de no las
considera para efectos de integración, esto hace que este factor salga de la transformada de
Laplace y sea también factor pero de la función ya transformada:

Estas propiedades ayudan a simplificar transformadas en gran variedad de casos.
DERIVACIÓN EN EL TIEMPO: La diferenciación en eldominio del tiempo es equivalente a una
multiplicación por s en el dominio de la frecuencia.

DERIVACIÓN EN EL TIEMPO:
Dada una función f (t), se desea hallar la transformada de Laplace de la derivada de dicha función.

Utilizando integración por partes:

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para la segunda derivada tenemos:

La última integral, corresponde al caso de primera derivada que con anterioridad hemos resuelto,es por esto que reemplazamos directamente el resultado:

Se pueden obtener resultados similares para derivadas superiores. Lo importante es ver que
cuando las condiciones iniciales son cero, la derivación en el dominio del tiempo es equivalente a
una multiplicación en el dominio de la frecuencia.
__

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INTEGRACIÓN EN EL TIEMPO: la integración en el dominio del tiempo es equivalente auna
simple división por s en el dominio de la frecuencia.

Las condiciones iniciales se evalúan, haciendo que el intervalo de integración las incluya y separar
esta integral de la de Laplace.
INTEGRACIÓN EN EL TIEMPO:
Dada una función f (t), deseamos hallar la transformada de Laplace de la integral de dicha función.

usando la técnica de integración por partes:

Este resultado nos hace verque la integración en el dominio del tiempo es equivalente a una
división por S en el dominio de la frecuencia.
CONVOLUCIÓN: la convolución se define como la operación entre dos funciones, tal que:

Si se utiliza esta definición, se pueden hallar ciertas simplificaciones que son útiles en el análisis
de circuitos, pues la transformada de Laplace de la convolución de dos funciones en eldominio del
tiempo, resulta ser la multiplicación de las transformadas de las funciones en el dominio de la
frecuencia:

4

CONVOLUCIÓN:
Dadas dos funciones f1(t) y f2(t), se desea hallar la transformada de Laplace de la convolución de
éstas, definiendo la convolución como:

Bajo esta definición, y teniendo en cuenta que la transformada de Laplace obliga a la de
convolución a cambiar sulímite inferior por “cero menos” tenemos:

si introducimos en la integral interior el factor exponencial de la transformada de Laplace (ya que
para la integral interior, éste factor es una constante), y cambiamos el orden de integración,
podemos escribir:

en la fórmula inferior, se utilizó el mismo truco de sacar de la integral interior la función
dependiente de lambda, pues no depende de...