Laplace

Ecuaciones Diferenciales
Tema 2. Trasformada de Laplace
Ester Simó Mezquita
Matemática Aplicada IV

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Tema 2. Transformada de Laplace

Tema 2. Transformada de Laplace
1.
2.
3.
4.

5.
6.
7.

8.

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Transformada de Laplace de una función admisible
Propiedades básicas de la transformada de Laplace
Otras propiedades de la transformada de Laplace
Tabla de transformadas deLaplace. Transformada
inversa
Solución general de una EDO lineal
Solución de EDO lineales con coeficientes constantes
Solución de una EDO con entradas discontinuas. La
función de Heaviside
Solución de sistemas de EDO lineales mediante la
transformada de Laplace
Tema 2. Transformada de Laplace

1. Transformada de Laplace de una función
admisible
El concepto de transformada encierra laidea de convertir una función
dada
en otra función

Ya estamos familiarizados con diversas transformadas
1. La derivada
asigna a una función diferenciable
intervalo
] una nueva función

2. La integral
asigna a una función continua
una nueva función

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[definida en algún

(definida en un intervalo

Tema 2. Transformada de Laplace

)

1. Transformada de Laplace de unafunción
admisible
Consideremos una función

definida para

La transformada de Laplace (unilateral) de
definida por la integral impropia

La función original
por

es la función

es una transformada inversa de

y se denota

Notemos que la transformada de Laplace toma una función de y devuelve
una función de , y como que la variable acostumbra a ser el tiempo se
denomina así a losdominios de definición de esas funciones:
dominio temporal
dominio frecuencial o transformado
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Tema 2. Transformada de Laplace

1. Transformada de Laplace de una función
admisible
Recordemos que las integrales impropias sobre regiones no acotadas como
se definen mediante un límite

Ejemplo:

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, suponiendo

Tema 2. Transformada de Laplace

1. Transformada de Laplace de unafunción
admisible

Ejemplo:

, suponiendo

Por tanto,

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Tema 2. Transformada de Laplace

1. Transformada de Laplace de una función
admisible
Diremos que una función es continua a trozos en
si es continua
en
o si, en cualquier intervalo acotado, tiene como máximo un
número finito de discontinuidades de salto

Ejemplo: Una señal de pulso cuadrado. En cualquier intervalo acotadotiene un número finito de discontinuidades de salto, aunque en
tiene
infinitas
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Tema 2. Transformada de Laplace

1. Transformada de Laplace de una función
admisible
Diremos que una función
constantes
y

es de orden exponencial
tales que

si existen

En otras palabras, una función es de orden exponencial si, a partir de cierto
momento, su tamaño es menor que el de algunaexponencial
es de orden exponencial
gráfica de
con

para cualquier
, ya que la
está por encima de la de
para t>0

no es de orden exponencial, ya que no hay ningún valor de
ni de
tales que
esté por encima de
para
grande

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Tema 2. Transformada de Laplace

1. Transformada de Laplace de una función
admisible
Resultado que garantiza la existencia de la transformada de Laplace
Si
esde orden exponencial
y continua a trozos en
entonces existe
para todo

,

A las funciones que verifican estas dos condiciones (orden exponencial y
continua a trozos) las llamaremos funciones admisibles

Continua a trozos: garantiza la existencia de la integral sobre cada intervalo
Orden exponencial: garantiza que al multiplicar por
con bastante
grande, el producto resultante decaigadeprisa para que exista la integral
impropia

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Tema 2. Transformada de Laplace

1. Transformada de Laplace de una función
admisible
Ejemplos de funciones no admisibles
no es de orden exponencial y se puede demostrar que

no existe para ningún valor de

es de orden exponencial pero tiene una discontinuidad
asintótica en
. Se puede demostrar que

no existe para ningún valor...