Laplace
Páginas: 25 (6074 palabras)
Publicado: 18 de marzo de 2014
atem
atic
as
CAP´
ITULO 6
INTRODUCCION
uia
6.1.
,D
ept
o. d
eM
TRANSFORMADA DE
LAPLACE
tioq
Definici´n 6.1. Sea f (t) una funci´n definida para todo t ≥ 0; se define la
o
o
Transformada de Laplace de f (t) as´
ı:
An
∞
£{f (t)}(s) = F (s) =
e−st f (t)dt
b
e−st f (t)dt,
l´
ım
ad
=
de
0
b→∞
ive
rsid
0
si el l´ımite existe.
Un
Teorema 6.1.
Si f (t) es una funci´n continua a tramos para t ≥ 0 y adem´s |f (t)| ≤ Mect
o
a
para todo t ≥ T , donde M es constante , c constante y T > 0 constante,
entonces £{f (t)}(s) existe para s > c.
Demostraci´n: veamos que la siguiente integral existe, en efecto:
o
|£{f (t)}(s)| =
=
∞
0
∞
0
e−st f (t)dt ≤
e−st |f (t)|dt,
211
∞
0
|e−st ||f(t)|dt
sabiendo que e−st > 0
212
CAP´
ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
T
e−st |f (t)|dt +
=
0
∞
T
e−st |f (t)|dt
I1
I2
T
T
e−st |f (t)| dt ≤
≤ M ect
∞
∞
e−st Mect dt = M
T
T
atic
∞
I2 =
e(−s+c)t dt
atem
0
as
e−st |f (t)|dt existe, ya que f es continua a tramos
I1 =
∞
M
e−(s−c)t , suponiendo que s − c > 0
−(s− c)
T
M −(s−c)T
M
(0 − e−(s−c)T ) =
e
= −
s−c
s−c
o. d
eM
=
ept
Luego, £{f (t)}(s) existe, si s > c.
uia
,D
NOTA: a) cuando f (t) ≤ |f (t)| ≤ Mect para t ≥ T , entonces decimos
que f (t) es de orden exponencial (ver figura 6.1).
tioq
f (t)
de
An
Mect , (c > 0)
t
Un
ive
rsid
(0, M) •
T
f (t)
ad
•
Figura 6.1
b) Si f (t) es deorden exponencial, es decir, |f (t)| ≤ Mect para t ≥ T y
c, M constantes, entonces
l´ e−st f (t) = 0, s > c
ım
t→∞
6.1. INTRODUCCION
213
En efecto, como |f (t)| ≤ Mect , entonces |e−st f (t)| ≤ Me−(s−c)t y como
l´ t→∞ e−(s−c)t = 0, si s > c, entonces por el teorema de estricci´n en l´
ım
o
ımites,
se concluye que
l´ |e−st f (t)| = 0, s > c,
ım
t→∞
luego
as
l´ e−stf (t) = 0, s > c
ım
atic
t→∞
∞
def.
=
£{αf (t) + βg(t)}(s)
atem
Observaci´n: £ es un operador lineal, en efecto
o
e−st (αf (t) + βg(t)) dt
0
e−st f (t) dt + β
∞
eM
∞
e−st g(t) dt
=
α
=
α£{f (t)}(s) + β£{g(t)}(s)
0
ept
o. d
0
1
s
, s > 0,
k
s
£{k}(s) =
, s > 0,
n!
sn+1
,
s > 0, n = 1, 2, . . .
3).£{eat }(s) =
1
s−a
,
para s > a
7). £{cosh kt}(s) =
8). £{tn eat }(s) =
k
s2 −k 2
s
s2 −k 2
n!
(s−a)n+1
de
s>0
ad
6). £{ senh kt}(s) =
,
,
s > |k|
,
s > |k|
,
s > a, n = 1, 2, . . .
ive
rsid
s
s2 +k 2
s>0
Un
5). £{cos kt}(s) =
,
An
k
s2 +k 2
4). £{ sen kt}(s) =
tioq
2). £{tn }(s) =
k constante.
uia
1).£{1}(s) =
,D
Teorema 6.2.
Demostraci´n: 1). Si s > 0 se tiene que
o
∞
£{1}(s) =
0
−st
e
e−st
1 dt =
−s
∞
0
=
1
s
2). Hagamos la demostraci´n por el m´todo de inducci´n. Para ello, suponemos
o
e
o
214
CAP´
ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
n
que s > 0 y utilizamos el siguiente limite: l´ | ect | = 0, n = 1, 2, . . .
ım t
t→∞
e−st t dt,u=t
⇒ du = dt
−st
dv = e dt ⇒ v = − 1 e−st
s
hagamos
0
∞
+
0
∞
1
s
e−st dt
0
as
te−st
s
1 1 −st
e
s −s
1
1
= − 2 (0 − 1) = 2
s
s
∞
0
eM
£{t}(s) = −(0 − 0) +
atic
= −
atem
∞
n = 1 : £{t}(s) =
⇒ du = ntn−1 dt
u = tn
−st
dv = e dt ⇒ v = − 1 e−st
s
ept
∞
e−st tn dt hagamos
tn e−st
s
∞
+
0
n
s
∞e−st tn−1 dt
0
tioq
= −
,D
0
uia
£{tn }(s) =
o. d
Supongamos que se cumple para n − 1 y veamos que se cumple para n. En
efecto:
de
An
£{tn−1 }(s)
n
n
= −(0 − 0) + £{tn−1 }(s) = £{tn−1 }(s)
s
s
ad
Pero por la hip´tesis de inducci´n £{tn−1 }(s) =
o
o
(n−1)!
,
sn
luego:
n (n − 1)!
n!
= n+1
n
s s
s
ive
rsid
£{tn }(s) =...
atic
as
CAP´
ITULO 6
INTRODUCCION
uia
6.1.
,D
ept
o. d
eM
TRANSFORMADA DE
LAPLACE
tioq
Definici´n 6.1. Sea f (t) una funci´n definida para todo t ≥ 0; se define la
o
o
Transformada de Laplace de f (t) as´
ı:
An
∞
£{f (t)}(s) = F (s) =
e−st f (t)dt
b
e−st f (t)dt,
l´
ım
ad
=
de
0
b→∞
ive
rsid
0
si el l´ımite existe.
Un
Teorema 6.1.
Si f (t) es una funci´n continua a tramos para t ≥ 0 y adem´s |f (t)| ≤ Mect
o
a
para todo t ≥ T , donde M es constante , c constante y T > 0 constante,
entonces £{f (t)}(s) existe para s > c.
Demostraci´n: veamos que la siguiente integral existe, en efecto:
o
|£{f (t)}(s)| =
=
∞
0
∞
0
e−st f (t)dt ≤
e−st |f (t)|dt,
211
∞
0
|e−st ||f(t)|dt
sabiendo que e−st > 0
212
CAP´
ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
T
e−st |f (t)|dt +
=
0
∞
T
e−st |f (t)|dt
I1
I2
T
T
e−st |f (t)| dt ≤
≤ M ect
∞
∞
e−st Mect dt = M
T
T
atic
∞
I2 =
e(−s+c)t dt
atem
0
as
e−st |f (t)|dt existe, ya que f es continua a tramos
I1 =
∞
M
e−(s−c)t , suponiendo que s − c > 0
−(s− c)
T
M −(s−c)T
M
(0 − e−(s−c)T ) =
e
= −
s−c
s−c
o. d
eM
=
ept
Luego, £{f (t)}(s) existe, si s > c.
uia
,D
NOTA: a) cuando f (t) ≤ |f (t)| ≤ Mect para t ≥ T , entonces decimos
que f (t) es de orden exponencial (ver figura 6.1).
tioq
f (t)
de
An
Mect , (c > 0)
t
Un
ive
rsid
(0, M) •
T
f (t)
ad
•
Figura 6.1
b) Si f (t) es deorden exponencial, es decir, |f (t)| ≤ Mect para t ≥ T y
c, M constantes, entonces
l´ e−st f (t) = 0, s > c
ım
t→∞
6.1. INTRODUCCION
213
En efecto, como |f (t)| ≤ Mect , entonces |e−st f (t)| ≤ Me−(s−c)t y como
l´ t→∞ e−(s−c)t = 0, si s > c, entonces por el teorema de estricci´n en l´
ım
o
ımites,
se concluye que
l´ |e−st f (t)| = 0, s > c,
ım
t→∞
luego
as
l´ e−stf (t) = 0, s > c
ım
atic
t→∞
∞
def.
=
£{αf (t) + βg(t)}(s)
atem
Observaci´n: £ es un operador lineal, en efecto
o
e−st (αf (t) + βg(t)) dt
0
e−st f (t) dt + β
∞
eM
∞
e−st g(t) dt
=
α
=
α£{f (t)}(s) + β£{g(t)}(s)
0
ept
o. d
0
1
s
, s > 0,
k
s
£{k}(s) =
, s > 0,
n!
sn+1
,
s > 0, n = 1, 2, . . .
3).£{eat }(s) =
1
s−a
,
para s > a
7). £{cosh kt}(s) =
8). £{tn eat }(s) =
k
s2 −k 2
s
s2 −k 2
n!
(s−a)n+1
de
s>0
ad
6). £{ senh kt}(s) =
,
,
s > |k|
,
s > |k|
,
s > a, n = 1, 2, . . .
ive
rsid
s
s2 +k 2
s>0
Un
5). £{cos kt}(s) =
,
An
k
s2 +k 2
4). £{ sen kt}(s) =
tioq
2). £{tn }(s) =
k constante.
uia
1).£{1}(s) =
,D
Teorema 6.2.
Demostraci´n: 1). Si s > 0 se tiene que
o
∞
£{1}(s) =
0
−st
e
e−st
1 dt =
−s
∞
0
=
1
s
2). Hagamos la demostraci´n por el m´todo de inducci´n. Para ello, suponemos
o
e
o
214
CAP´
ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
n
que s > 0 y utilizamos el siguiente limite: l´ | ect | = 0, n = 1, 2, . . .
ım t
t→∞
e−st t dt,u=t
⇒ du = dt
−st
dv = e dt ⇒ v = − 1 e−st
s
hagamos
0
∞
+
0
∞
1
s
e−st dt
0
as
te−st
s
1 1 −st
e
s −s
1
1
= − 2 (0 − 1) = 2
s
s
∞
0
eM
£{t}(s) = −(0 − 0) +
atic
= −
atem
∞
n = 1 : £{t}(s) =
⇒ du = ntn−1 dt
u = tn
−st
dv = e dt ⇒ v = − 1 e−st
s
ept
∞
e−st tn dt hagamos
tn e−st
s
∞
+
0
n
s
∞e−st tn−1 dt
0
tioq
= −
,D
0
uia
£{tn }(s) =
o. d
Supongamos que se cumple para n − 1 y veamos que se cumple para n. En
efecto:
de
An
£{tn−1 }(s)
n
n
= −(0 − 0) + £{tn−1 }(s) = £{tn−1 }(s)
s
s
ad
Pero por la hip´tesis de inducci´n £{tn−1 }(s) =
o
o
(n−1)!
,
sn
luego:
n (n − 1)!
n!
= n+1
n
s s
s
ive
rsid
£{tn }(s) =...
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