Laplace

Transformadas de
Laplace

Las matemáticas poseen no sólo la verdad,
sino cierta belleza suprema. Una belleza fría
y austera, como la de una escultura
Bertrand Russell

Profesor: Narciso Agudo

Introducción

La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada
para solucionar una variedad amplia de problemas de inicial-valor. La
estrategia es transformar lasecuaciones diferenciales difíciles en los problemas
simples del álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente.
Entonces se aplica La transformada inversa de Laplace para recuperar las
soluciones de los problemas originales.

El Método de la transformada de Laplace es un método operacional que puede
usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Con el uso de latransformada de Laplace muchas funciones sinusoidales y exponenciales, se
pueden convertir en funciones algebraicas de una variable compleja s, y
reemplazar operaciones como la diferenciación y la integración, por
operaciones algebraicas en el plano complejo

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Índice

 Definición de la transformada de Laplace.
 Teorema de linealidad.
 Continuidad a trozos. Orden exponencial.
 Teorema de existencia.
 Transformada de Laplace funciones elementales.
 Transformada inversa.
 Transformada inversa de la place funciones elementales.
 Propiedad de linealidad.
 Primer teorema de traslación y transformada inversa.
 Función escalón unitario.
 Transformada de la función escalón unitario.
 Segundo teorema de traslación.
 Transformada delsegundo teorema de traslación.
 Derivada de una transformada.
 La transformada de una derivada.
 Integral de una transformada.
 Teorema de convolución.
 Transformada de una función periódica.
 Función de impulso y delta de dirac.
 Solución de ecuación diferencia lineal mediante la transformada.

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Definición de la Transformada de Laplace

En losmodelos matemáticos no homogéneos lineales de un sistemas físicos,
como el de una masa en un resorte o en el de un circuito eléctrico en serie
podemos observar que el lado derecho de la ecuación diferencial, están
igualadas a una función f (t) impulsadora o E (t), que es un voltaje aplicado.
Por lo general, estas funciones son continuas; sin embargo, no es raro
encontrarse con funcionesdiscontinuas. Por ejemplo, el voltaje aplicado a un
circuito podría ser continuo por tramos y periódico. En este caso,
Es difícil hallar la solución de la ecuación diferencial, por los métodos de
variación de parámetros o el de los coeficientes determinados. Es por esto que
la transformada de Laplace es una valiosa herramienta para resolver estos
problemas.
En el curso elemental de cálculoaprendimos que la diferenciación y la
integración transforman una función en otra función; por ejemplo si
f (x) = x 2, entonces esta función por derivación la podemos transformar en una
función lineal: f´(x) = 2x; es decir se transforma en una ecuación lineal. De
igual manera, ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 =

𝑥3
3

+ 𝐶 se transforma en una familia de ecuaciones

cúbicas.
Podemos agregar que estas dostransformaciones poseen la propiedad
de linealidad; esto es: la transformada de una combinación lineal de
funciones es una combinación lineal de las transformadas.
Simbólicamente,
𝑑
𝑑𝑥

[𝛼 𝑓(𝑥) + 𝛽 𝑔(𝑥)] = 𝛼 𝑓´(𝑥) + 𝛽 𝑔´(𝑥)

∫[𝛼 𝑓(𝑥) + 𝛽 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = 𝛼 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝛽 ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

Siempre y cuando exista cada derivada e integral. En nuestro caso, la
transformada de Laplace también goza de la propiedad delinealidad, es por
ello que es muy útil para resolver problemas de valor inicial lineales.
En esta parte introductoria a la definición de la transformada de Laplace tomaré
una función en dos variables f(x, y); luego la integraré con respecto a una de
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las variables (x), lo cual producirá otra función de la otra variable (y); observe
que al mantener a y...