Las funcinoes trigonometricas

Las funciones trigonométricas inversas y sus derivadasConviene recordar que:a.Si una función es continua y estrictamente creciente (decreciente) en un intervalo, entonces posee función inversa la cual también es continua y estrictamente creciente (decreciente). b.Las funciones trigonométricas son periódicas por lo que la correspondencia entre la variable independiente y la dependiente no es "unoa uno". 
De aquí se tiene que la inversa de una función trigonométrica no es una función, es una relación. 
Sin embargo, si se restringe el dominio de una función trigonométrica se establece una relación biunívoca y la inversa de la función trigonométrica sí es una función. Función seno inverso Al considerar la gráfica de la función seno:  |
Se observa que en varios intervalos, por ejemplo: ,etc, la función seno es continua y estrictamente creciente, por lo que podría escogerse alguno de ellos para definir la función inversa de la función seno. Usualmente se toma el intervalo . Luego, se define la función seno como:  La función  así definida es continua y estrictamente creciente en el intervalo , por lo que existe una única función, definida en el intervalo , llamada función senoinverso. Esta función, denotada arcsen, se define como sigue: Se tiene entonces que . Luego,  es el único número  para el cual . Ejemplos:  a. | |
b. | |
c. | |
d. | |
La representación gráfica de la función seno y de la función arcoseno es la siguiente:  |
Derivada de la función seno inverso Como , aplicando el teorema de la derivada de una función inversa se tiene que:  Como ,y  entonces pues . Luego:  En general  Ejemplos: 1. 2. 3. Ejercicio: Determine  si: a. | |
b. | |
Función coseno inverso Como en la función seno, la función coseno es continua y estrictamente decreciente en varios intervalos por ejemplo: , etc, por lo cual debe restringirse su dominio de tal forma que posea función inversa. Sea entonces la función  tal que:  La función  así definida es continuay estrictamente decreciente en el intervalo , por lo que posee función inversa. Esta recibe el nombre de arco coseno, (o función coseno inverso), y se denota . Se define de la siguiente forma: Se tiene que  Luego,  es el único número  con  para el que  Ejemplos:  a. | |
b. | |
c. | |
d. | |
La representación gráfica de la función coseno y la de la función arco coseno es la siguiente: |Derivada de la función coseno inverso Como , aplicando el teorema de la derivada de la función inversa se tiene que:  Como , y  entonces pues . Luego:  En general  Ejemplos: 1. 2. 3. Ejercicio: Determine  si:  a. | |
b. | |
Función tangente inversa Igual que en los dos casos anteriores, vamos a restringir el dominio de la función tangente al intervalo , en el que es continua yestrictamente creciente, por lo que posee función inversa. Luego se define la función tangente como:  Se define la función tangente inversa, también llamada arco tangente, y denotada , como: Se tiene que ,  Luego,  es el único número  con  para el que  Ejemplos:  a. | |
b. | |
c. |  Además:   |
La representación gráfica de la función tangente y la de la función arcotangente es la siguiente:  | Derivada de la función arcotangente
Como , aplicando el teorema de la derivada de la función inversa se tiene que:  Como , y  entonces  por lo que: 
 En general  Ejemplos: 1. 2. 3. Ejercicio: Determine  si: a. | |
b. | |
c. | |
 Función cotangente inversa Para definir la función inversa de la función cotangente, vamos a restringir el dominio de ésta al intervalo , en el que escontinua y estrictamente decreciente, por lo que posee función inversa. Se define función cotangente como:  La función cotangente inversa, llamada también arco cotangente y denotada , se define como: Por la definición de la función arco cotangente se tiene que .Luego,  es el único número  con  para el que  Ejemplos:  a. | |
b. | |
c. | Además: 
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La representación gráfica de la...