las moleculas

Bol. Soc. Esp. Mat. Apl. no 00(2006), 000–000

Matem´
atica del ADN:
Biof´ısica de mol´
eculas individuales y mec´
anica estad´ıstica
´ nchez
Angel Sa
Grupo Interdisciplinar de Sistemas Complejos
Departamento de Matem´aticas
Universidad Carlos III de Madrid
Instituto de Biocomputaci´on y F´ısica de Sistemas Complejos
Universidad de Zaragoza
anxo@math.uc3m.es
6 de marzo de 2007Resumen
En este art´ıculo se discute el modelado matem´
atico de la mol´ecula
de ADN, tratando en detalle el modelo de Peyrard-Bishop [Phys. Rev.
Lett. 62, 2755 (1989)] como una de las descripciones simplificadas m´
as
u
´tiles de dicho sistema. Se abordan tanto las propiedades de las mol´eculas
individuales como las colectivas, haciendo particular hincapi´e en las
herramientas y problemasmatem´
aticos relacionados. En lo referente
a din´
amica de excitaciones no lineales como modelos de los procesos
que tienen lugar en la mol´ecula, se presentan resultados obtenidos con
descripciones continuas, m´
as tratables anal´ıticamente, y con descripciones
discretas, m´
as realistas como modelos de la mol´ecula de ADN. En
cuanto a los aspectos colectivos, se discute en detalle latransici´
on de
desnaturalizaci´
on del ADN, la comparaci´
on de los resultados con los
datos experimentales, y las mejoras del modelo motivadas por dicha
comparaci´
on. En la conclusi´
on se mencionan los aspectos que habr´ıa que
incluir en el modelo en el trabajo futuro.
Palabras clave :
ADN, mol´eculas individuales, biof´ısica, solitones, mec´
anica
estad´ıstica, transiciones defase
Clasificaci´
on por materias AMS :
92C05, 92D20, 35Q51, 35Q80, 70K75,
82B26, 82C22

1

´nchez
A. Sa

2

1.

Introducci´
on

Aunque las matem´aticas est´an desde hace tiempo muy relacionadas con la
biolog´ıa, la gran sinergia establecida entre ambas en los u
´ltimos a˜
nos promete
dar lugar a un enorme enriquecimiento de ambos campos en las pr´oximas
d´ecadas [1, 2]. Unade las ´areas de la biolog´ıa donde esta interacci´on es m´as
necesaria y relevante es la biolog´ıa molecular [3], en la que problemas de
gran trascendencia pr´actica (por ejemplo, en el dise˜
no de f´armacos) como el
del plegamiento de las prote´ınas concentran los esfuerzos de un gran n´
umero
de investigadores. Dicho problema es la manifestaci´on m´as notable de que
conocer lacomposici´on qu´ımica de una mol´ecula no permite, al menos por
ahora, predecir y entender su funci´on, que aparece como algo emergente de la
interacci´on entre las m´
ultiples unidades que la forman.
De entre las muchas mol´eculas que intervienen en la vida, el ´acido
desoxirribonucleico, m´as conocido por sus siglas ADN, es una de las m´as
importantes, si no la m´as. Casi cualquier persona hoy end´ıa sabe que
el ADN contiene la informaci´on gen´etica que permite reproducirse a los
organismos y que se transmite a la descendencia para continuar el proceso.
Es tambi´en bien conocido que el ADN tiene una estructura de doble h´elice
(v´ease Fig. 1; v´ease tambi´en en [2, 4] una descripci´on m´as detallada) donde unas
mol´eculas llamadas bases constituyen los escalones que unen a las dosh´elices, y
contienen la mencionada informaci´on gen´etica. Sin embargo, el problema de la
relaci´on estructura-funci´on se manifiesta ya en el ADN, pese a su aparente
simplicidad (comparada con mol´eculas como las prote´ınas, compuestas de
unidades mucho m´as heterog´eneas). As´ı, durante la replicaci´on, o copia del
ADN para su transmisi´on a los descendientes, o durante la transcripci´on, lecturadel ADN para su traducci´on a prote´ınas, la mol´ecula sufre enormes cambios
conformacionales cuya relaci´on con la estructura no es en absoluto evidente.
En este trabajo vamos a considerar un modelo sencillo que pretende aportar
informaci´on sobre este problema. Al igual que para estudiar cualquier otro
sistema, a la hora de plantear un modelo debemos pensar en primer lugar
qu´e...