Lazo
Páginas: 2 (401 palabras)
Publicado: 1 de octubre de 2011
5.4
Análisis de Estabilidad con Routh Hurwitz
El algoritmo de Routh Hurwitz permite determinar si hay raíces en el semiplano derecho. Consideremos el polinomio p(s) de grado n, definidocomo:
n p(s) = ∑ a s i i i=0
El algoritmo de Routh Hurwitz está basado en el siguiente arreglo numérico: sn sn-1 sn-2 . . s2 s1 s0 an an-1 b1 d1 e1 f1 an-2 an-3 b2 d2 0 0 an-4 an-5 b3 0 0donde:
- a a a n n-3 n −1 n-2 b = 1 a n -1 a b a a - a a n n-5 = n−1 n-4 2 a n -1
f
e d - d 0 1 = 1 2 1 e 1
Entonces el número de raíces con parte real más grande que cero es igual alnúmero de cambios de signo en la primera columna del arreglo. El algoritmo de R. H. se puede aplicar el polinomio característico del sistema realimentado nominal. Por ejemplo, sea:
G(s) = 1 (s + 1) 2y
C(s) =
K s
Se desea saber que valores de K hace que el sistema realimentado nominal sea internamente estable:
P(s) = A o (s)L(s) + B o (s)P(s) = (s + 1) 2 s + 1K = (s 2 + 2s + 1)s +K = s 3 + 2s 2 + s + K
Construyendo el arreglo tenemos:
s3 s2 s1 s0 1 2 2-K 2 K 1 K 0
Para que no hayan raíces en el SPD se tiene que cumplir que 2−K > 0 y K > 0 . Combinando estos dosrequerimientos tenemos
2
que: 0 < K < 2.
5.5 Estabilidad usando Root Locus Esta herramienta se puede usar para examinar la ubicación de las raíces del polinomio característico cuando unparámetro está cambiando. Supongamos que el modelo nominal de una planta es Go(s) y que el controlador tiene la función de transferencia C(s) = K Ca(s) es conocido y K es una constante positivadesconocida. Entonces los polos del sistema realimentado son las raíces de:
1 + KCa (s)G (s) = 0 0
El conjunto de todos los puntos en el plano complejo que satisfacen esta ecuación para los valorespositivos de K es conocido como el “Root Locus” Hoy en día, el root locus de algún problema particular se puede obtener fácilmente usando las herramientas que trae MATLAB (comando rlocus en rltool).
Análisis de Estabilidad con Routh Hurwitz
El algoritmo de Routh Hurwitz permite determinar si hay raíces en el semiplano derecho. Consideremos el polinomio p(s) de grado n, definidocomo:
n p(s) = ∑ a s i i i=0
El algoritmo de Routh Hurwitz está basado en el siguiente arreglo numérico: sn sn-1 sn-2 . . s2 s1 s0 an an-1 b1 d1 e1 f1 an-2 an-3 b2 d2 0 0 an-4 an-5 b3 0 0donde:
- a a a n n-3 n −1 n-2 b = 1 a n -1 a b a a - a a n n-5 = n−1 n-4 2 a n -1
f
e d - d 0 1 = 1 2 1 e 1
Entonces el número de raíces con parte real más grande que cero es igual alnúmero de cambios de signo en la primera columna del arreglo. El algoritmo de R. H. se puede aplicar el polinomio característico del sistema realimentado nominal. Por ejemplo, sea:
G(s) = 1 (s + 1) 2y
C(s) =
K s
Se desea saber que valores de K hace que el sistema realimentado nominal sea internamente estable:
P(s) = A o (s)L(s) + B o (s)P(s) = (s + 1) 2 s + 1K = (s 2 + 2s + 1)s +K = s 3 + 2s 2 + s + K
Construyendo el arreglo tenemos:
s3 s2 s1 s0 1 2 2-K 2 K 1 K 0
Para que no hayan raíces en el SPD se tiene que cumplir que 2−K > 0 y K > 0 . Combinando estos dosrequerimientos tenemos
2
que: 0 < K < 2.
5.5 Estabilidad usando Root Locus Esta herramienta se puede usar para examinar la ubicación de las raíces del polinomio característico cuando unparámetro está cambiando. Supongamos que el modelo nominal de una planta es Go(s) y que el controlador tiene la función de transferencia C(s) = K Ca(s) es conocido y K es una constante positivadesconocida. Entonces los polos del sistema realimentado son las raíces de:
1 + KCa (s)G (s) = 0 0
El conjunto de todos los puntos en el plano complejo que satisfacen esta ecuación para los valorespositivos de K es conocido como el “Root Locus” Hoy en día, el root locus de algún problema particular se puede obtener fácilmente usando las herramientas que trae MATLAB (comando rlocus en rltool).
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