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7

Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 1

PÁGINA 161 P RACTICA
Razones trigonométricas de un ángulo agudo

1

Halla las razones trigonométricas del ángulo a en cada uno de estos triángulos: a)
7m

b)
11 ,6 cm

c)
a
m
60

25

m

a

8m

32

√ 252 – 72 = 24 = 0,96; tg a = 7 ≈ 0,29 a) sen a = 7 = 0,28; cos a = 25 25 25 24
b) sen a =

√ 11,62 – 82 = 8,4 ≈0,724
11,6

11,6

cos a = 8 ≈ 0,69; tg a = 8,4 = 1,05 11,6 8 c) sen a =
32 = 32 = 8 ≈ 0,47 2 68 17 + 60

√ 322

cos a = 60 = 15 ≈ 0,88; tg a = 32 = 8 ≈ 0,53 68 17 60 15
^

2
a)

Midiendo los lados, halla las razones trigonométricas de B en cada caso:
B

b)
C A

A

m

a

C

B

^ ^ ^ a) sen B = 2,8 ≈ 0,82; cos B = 2 ≈ 0,59; tg B = 2,8 = 1,4 3,4 3,4 2 ^ ^ ^ b) sen B = 1,3≈ 0,34; cos B = 3,6 ≈ 0,95; tg B = 1,3 ≈ 0,36 3,8 3,8 3,6

Unidad 7. Trigonometría

7

Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 2

3

Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los siguientes ^ triángulos rectángulos (A = 90°): a) b = 56 cm; a = 62,3 cm b) b = 33,6 cm; c = 4,5 cm c) c = 16 cm; a = 36 cm a)
B 27,3 cm 62,3 cm
^ sen B = 56 ≈ 0,90 62,3

cos B =
C^

√ 62,32 – 562 = 27,3 ≈ 0,438
62,3

62,3

A

56 cm

^ tg B = 56 ≈ 2,051 27,3

^ ^ ^ sen C = 27,3 ≈ 0,438; cos C = 56 ≈ 0,90; tg C = 27,3 = 0,4875 62,3 62,3 56

b)

B
4,5 cm

sen B =
33,9 cm 33,6 cm

^

33,6 = 33,6 ≈ 0,991 2 + 33,62 33,9 √ 4,5

A

C

^ cos B = 4,5 ≈ 0,133 33,9

^ tg B = 33,6 ≈ 7,467 4,5 ^ ^ ^ sen C = 4,5 ≈ 0,133; cos C = 33,6 ≈ 0,991; tg C =4,5 ≈ 9,955 33,9 33,9 33,6

c)

B 16 cm 36 cm

sen B =

^

√ 362 – 162 ≈ 32,25 ≈ 0,896
36

36

) ^ cos B = 16 = 0,4 36
C
^ tg B = 32,25 ≈ 2,016 16

A

32,25 cm

) ^ ^ ^ sen C = 16 = 0,4; cos C = 32,25 ≈ 0,896; tg C = 16 ≈ 0,496 36 36 32,25

4

Comprueba, con el teorema de Pitágoras, que los triángulos ABC y AHB son rectángulos.
A 6,72 cm 24 cm 23,04 cm

C H 1,96 cmHalla en cada uno las razones trigonométricas del ángulo B y compara los resultados. ¿Qué B observas?

El triángulo ABC es rectángulo en A: 242 + 72 = 625 = (23,04 + 1,96)2 = 252 = 625 El triángulo AHB es rectángulo en H: 23,042 + 6,722 = 576 = 242

Unidad 7. Trigonometría

7 cm

7

Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 3 ^ sen B en ABC ^ cos B ^ tg B

7 — = 0,28 25

24 — =0,96 25

7 — ≈ 0,292 24

en AHB

6,72 23,04 6,72 — = 0,28 — = 0,96 — ≈ 0,292 24 24 23,04
ì ì

5

Calcula las razones trigonométricas de los ángulos A y C , ABD y CBD.
B

^

^

15
A

12 cm

cm

D

16 cm

C

AD = √152 – 122 = 9; BC = √122 + 162 = 20
^ A sen ^ C ^ ABD ^ CBD

12 — = 0,8 15 9 — = 0,6 15

12 — = 0,6 20 16 — = 0,8 20 12 — = 0,75 16

9 — = 0,6 15 12 —= 0,8 15 9 — = 0,75 12

16 — = 0,8 20 12 — = 0,6 20

cos

tg

) 12 — = 1,3 9

) 16 — = 1,3 12

Relaciones fundamentales

6

Si sen a = 0,28, calcula cos a y tg a utilizando las relaciones fundamentales (a < 90°). cos a = √1 – 0,282 = 0,96; tg a = 0,28 ≈ 0,292 0,96

7

Halla el valor exacto (con radicales) de sen a y tg a sabiendo que cos a = 2/3 (a < 90°). sen a = 4 5/3 ( ) =√1 – — = √35 ; tg a = √2/3 = √25 √ 9 2 1– — 3
2

Unidad 7. Trigonometría

7

Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 4

8

Si tg a = √5 , calcula sen a y cos a (a < 90°). — — sen a ° s = √ 5c — = √5 — § — cos a 1 √6 ¢ (√ 5c)2 + c 2 = 1 8 6c 2 = 1 8 cos a = — = — — sen 2 a + cos 2 a = 1 § √6 6 £ sen a = √5 ·

√ 6 = √ 30
6 6

9

Calcula y completa esta tabla con valoresaproximados:
sen a 0,92 cos a tg a

0,12 0,75

sen a 0,92 0,6 0,99 cos a 0,39 0,8 0,12 tg a 2,35 0,75 8,27

En todos los casos solo tomaremos valores positivos. • sen a = 0,92 8 cos a = √ 1 – (0,92) 2 = 0,39 tg a = 0,92 = 2,35 0,39 • tg a = 0,75 sen a = 0,75 8 sen a = 0,75 · cos a cos a (sen a) 2 + (cos a) 2 = 1 8 (0,75 · cos a) 2 + (cos a) 2 = 1 8 8 (cos a) 2 = 0,64 8 cos a = 0,8 sen a = 0,75...
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