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Desigualdades

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Desigualdades
Esta sección cubre gran cantidad de desigualdades importantes, comenzando
con las más fáciles. Todos los números son reales a menos que se diga otra cosa.
Muchos de los problemas que involucran la demostración de una desigualdad
pueden ser resueltos en una variedad de formas. De esta manera, intenta siempre
usar una simple desigualdad, antes de usar lasmás poderosas que se muestran al
final de esta sección. Se te sugiere que pruebes casos simples para entender cada
una de las Desigualdades que se muestran más adelante.
Ten en cuenta que necesitas conocimientos previos de aritmética, álgebra y
trigonometría mínimo, para manipular las expresiones con las que te enfrentas.

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Reglas

Aquí están algunas simples reglas para la manipulación dedesigualdades. Para
números reales a, b, c.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)

Si a < b entonces a ± c < b ± c.
Si 0 < a < b entonces an < bn.
Si a < b < 0 entonces an < bn si y sólo si n es impar. En caso contrario an > bn.
Si a < b y c > 0 entonces a ⋅ c < b ⋅ c.
Si a < b y c < 0 entonces a ⋅ c > b ⋅ c.
Siempre a2 ≥ 0.
Si con a, b, c podemos formar un triángulo, entonces a + b > c, a+ c > b,
b + c > a. (Desigualdad triangular)

Ejemplo. Si 0 < a < 1, entonces 0 < a2 < a. Si b > 1, entonces b2 > b.

2

Desigualdades Básicas

(1) Si a – b es positivo (a – b > 0), entonces a > b. (Por lo tanto, una forma de probar
que x > y es considerar el signo de x – y.)
Ejemplo.
Si x y y son dos enteros positivos distintos, entonces x 3 + y 3 > x 2 y + xy 2
Notemos que x 3 + y 3− ( x 2 y + xy 2 ) = ( x 2 − y 2 )( x − y ) . Ambos factores del lado
derecho de la igualdad son positivos, o son negativos. En cada caso, su
producto es positivo. De otra forma, ( x 2 − y 2 )( x − y ) = ( x + y )( x − y )2 , y entonces
ambos términos son positivos.
Es decir, x 3 + y 3 − ( x 2 y + xy 2 ) > 0 .

Desigualdades

2

a
> 1 , entonces a > b. (Otra forma de probar que x > y,donde y > 0, es
b
x
considerar .)
y
Ejemplo.
Si x > y > 0, entonces 4x 3 ( x − y ) > x 4 − y 4 .

(2) Si b > 0 y

Tenemos que:
4x 3 ( x − y )
4x 3
= 3
x4 − y4
x + x 2 y + xy 2 + y 3

(cancelando el factor x – y, lo cual está permitido si x ≠ y)
=

4
2

3

y
y
1 + + x 2 + x3
y
x

> 1,
n

ya que 0 <

y
y
< 1. (En este caso n < 1 , para todo natural n.)
x
x(3) Siempre ( a ± b )2 ≥ 0 .
Ejemplo.
Si x, y, z son números reales, entonces x 2 + y 2 + z 2 ≥ yz + zx + xy .
Tenemos que:
1
x 2 + y 2 + z 2 − yz − zx − xy = ( 2x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 − 2 yz − 2 zx − 2xy )
2
1
1
1
                                          = ( x − y )2 + ( y − z)2 + ( z − x )2
2
2
2
                                          ≥ 0.

•

Si la suma de dos números esconstante, entonces su producto es máximo
cuando ellos son iguales.
2

k2  k

Supongamos que x + y = k. Entonces xy = x (k – x) =
−  − x  , así xy es
4 4

2

k
k

máximo cuando  − x  es mínimo, y esto es cuando x = = y.
2
4

2 – (x – y)2 es máximo
Alternativamente, puedes observar que 4xy = (x + y)
cuando (x – y)2 es mínimo.

Desigualdades
•

3

Muchasdesigualdades pueden establecerse ignorando muchos términos
ajenos.
Ejemplo.
Si a1, a2, …, an son positivos y a1 + a2 + … + an = c, entonces:
(1 + a1 )(1 + a2 )...(1 + an ) > c + 1 .

Demostración. (1 + a1 )(1 + a2 ) = 1 + ( a1 + a2 ) + a1a2 > 1 + ( a1 + a2 ) = 1 + c , si a1 , a2 > 0 .

Similarmente:

(1 + a1 )(1 + a2 )(1 + a3 ) > (1 + a1 + a2 )(1 + a3 )
= 1 + a1 + a2 + a3 + a3 ( a1 + a2 )
>1 + a1 + a2 + a3
= 1+ c

El resultado general puede ser establecido por inducción.

3 Relación entre las Medias:
Aritmética (MA), Geométrica (MG), Harmónica (MH)
y Cuadrática (MC)
Sean x1 , x2 ,..., xn números reales positivos. Entonces, se cumplen las siguientes
relaciones:
mín( xi ) ≤

n
1 1
1
+ + ... +
x1 x2
xn

≤ n x1x2 ...xn ≤

2
2
x1 + x2 + ... + xn
x 2 + x2 + ......