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Leccio´ n 2


Gradiente, divergencia y rotacional





2.1. Gradiente de un campo escalar


Campos escalares. Un campo escalar en Rn es una función f : Ω → R, donde Ω es un subconjunto de Rn. Usualmente Ω será un conjunto abierto. Para n = 2 tenemos un campo escalar en el plano, que tendrá la forma (x, y) 7→ f (x, y) . Para n = 3 tendremos un campo escalaren el espacio, dado por una expresión (x, y, z) 7→ f (x, y, z).

En Física, un campo escalar f : Ω → R describe una magnitud con valores escalares, de forma que Ω es una región del plano o del espacio y, para cada punto x ∈ Ω, f (x) es el valor en el punto x de dicha magnitud física. Piénsese, por ejemplo, en un campo de temperaturas.

Definición de gradiente. Sea f un campo escalardefinido en un abierto Ω ⊆ Rn y sea a = (a1, a2, . . . , an) ∈ Ω. Supongamos que f es diferenciable en el punto a, con lo que existen las n derivadas parciales de f en a:

∂ f (a) = ∂ f (a , a , . . . , a ) = l´ım f ( a + t ek ) − f (a)

(k = 1, 2, . . . , n),
∂xk
∂xk 1 2
t →0 t

donde {e1, e2, . . . , en} es la base standard de Rn. Entonces, el gradientede f en el punto a es, por definición, el vector ∇ f (a) = ∇ f (a1, a2, . . . , an) ∈ Rn dado por

∇ f (a) =
∂ f
∂ f
(a),
∂ f
(a)
, . . . ,
n
(a) = ∑
∂ f
(a1, a2, . . . , an) ek
∂x1
∂x2
∂xn
k=1 ∂xk

Si el campo f es diferenciable en todos los puntos de Ω tendremos una función ∇ f : Ω → Rn que a cada punto x∈ Ω hace corresponder el vector gradiente en dicho punto, ∇ f (x). Es natural entonces escribir:
∇ f =
∂ f
∂ f
, , . . . ,
∂ f n ∂ f
= ∑
ek ,
∂x1
∂x2
∂xn
k=1 ∂xk
una igualdad entre funciones, válida en todo punto de Ω.




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Gradiente en el plano. Para un campo escalar plano (x, y) 7→ f (x, y), que sea diferenciable en un punto a = (x0, y0),tendremos

∂ f ∂ f ∂ f ∂ f
∇ f (a) = ∇ f (x0, y0) =
(a) , (a)
∂x ∂y
= (x0, y0) i + (x0, y0) j
∂x ∂y

Cuando f sea diferenciable en un abierto Ω ⊆ R2 podremos escribir


∇ f =
∂ f
∂x ,
∂ f
=
∂y
∂ f ∂ f
∂x i + ∂y

j (en Ω)


Gradiente en el espacio. Análogamente, si (x, y, z) 7→ f (x,y, z) es un campo escalar en el espacio, diferenciable en un punto a = (x0, y0, z0), tendremos

∂ f ∂ f ∂ f
∇ f (a) = ∇ f (x0, y0, z0) =
(a) , (a) , (a)
∂x ∂y ∂z
= ∂ f (x , y , z ) i + ∂ f (x , y , z ) j + ∂ f (x , y , z ) k
∂x 0 0 0
∂y 0 0 0
∂z 0 0 0

y cuando f sea diferenciable en un abierto Ω ⊆ R3 podremosescribir


∇ f =
∂ f
∂x ,
∂ f
∂y ,
∂ f
=
∂z
∂ f ∂ f
∂x i + ∂y
∂ f
j + ∂z

k (en Ω)

Derivadas direccionales. Consideremos de nuevo un campo escalar f definido en un abier- to Ω ⊆ Rn y diferenciable en un punto a ∈ Ω. Fijado un vector u = (u1, u2, . . . , un) ∈ Rn con kuk = 1, sabemos que la derivada direccional de f en la dirección u viene dada por:

n
∂ f(a) = l´ım f ( a + t u ) − f (a) =
∂ f
∑ (a) uk
= h ∇ f (a) | u i
∂u t →0 t
k=1 ∂xk

y mide la rapidez de variación de f al desplazarnos desde el punto a en la dirección del vector
u. La desigualdad de Cauchy-Schwartz nos da

∂ f (a) =
∂u

h ∇ f (a) | u i 6

|h ∇ f (a) | u i| 6

k∇ f (a)k kuk

= k∇ f (a)k

Si ∇ f (a) = 0, podemosconseguir que las desigualdades anteriores sean igualdades tomando
∇ f (a)
u =
k∇ f (a)k
y tenemos una interpretación física del gradiente de un campo escalar: k∇ f (a)k
es la máxima rapidez de variación del campo que podemos conseguir al desplazarnos desde el
punto a ; esta máxima variación se produce en la dirección del vector gradiente, más concre- tamente, el máximo aumento se consigue en el...