Ley de Biot-Savart

4.5 Ley de Biot-Savart.
Otro experimento que puede realizarse para
conocer
más
sobre
el
origen
y
comportamiento de las fuerzas de origen
magnético es el mostrado en la siguiente
figura. Consiste de un tubo de rayos
catódicos,
cuyo
haz
es
colocado
paralelamente a un conductor por el que
circula corriente eléctrica. Nótese que el haz,
aun al desviarse, se encuentra siempreformando un plano con el conductor

Ley de Biot-Savart.
Tubo de rayos catódicos.

Ley de Biot-Savart.
La corriente convencional en el
conductor, produce una repulsión
en los electrones de acuerdo con la
regla de la mano izquierda
provocando que estos describan
una trayectoria curva como se
muestra en la figura.

Ley de Biot-Savart.
Las
observaciones
experimentales
realizadasdemuestran que la fuerza que
actúa sobre la carga q1 depende de:
La magnitud de la carga 1 y su velocidad
La velocidad de la carga 2 y el campo
eléctrico que esta produce sobre la carga
r
1.
rrr

(

F12 ∝ q1v1 × v 2 × E12

)

Ley de Biot-Savart.
Introduciendo la velocidad de la luz como
la constante de proporcionalidad que
satisface
los
requerimientos
experimentales, se tiene:

(r
1r r
r
F12 = q1v1 × 2 v 2 × E12
C

)

Ley de Biot-Savart.
Comparando la ecuación anterior con:

r
r
r
Fm = q v × B

Ley de Biot-Savart.
Se tiene:

r
1r r
B = 2 v×E
C

Se puede dar una definición formal de
campo magnético:
“Como al desplazarse una carga q2 también
se desplaza el campo eléctrico que esta carga
produce, es válido afirmar que un campo
eléctrico quese desplaza (o que varía con el
tiempo) produce un campo magnético”.

Ley de Biot-Savart.
LEY DE BIOT-SAVART.
Diferenciando la expresión que define el
campo magnético, se tiene:

r
1r r
dB = 2 v × dE
Cexpresada
La velocidad puede ser

r
r dl
v=
dt

Ley de Biot-Savart.
Y recordando que el campo eléctrico es:

r
dE =

1 dq
r
2ˆ
4π ⋅ ε 0 r

Sustituyendo las últimasexpresiones en la
r
primera
r
1 dl
1 dq
dB = 2
×
r
ˆ
2
c dt 4π ⋅ ε 0 r

Ley de Biot-Savart.
Agrupando

r
r
1
dq d l × r
ˆ
dB =
2
2
4π ⋅ ε 0 ⋅ c dt r

Definiendo

1
−6
− 7  Wb 
µ0 =
= 1.255 × 10 = 4π × 10 
2

ε0 ⋅ c
A ⋅ m

Ley de Biot-Savart.
y dado que el cociente carga entre tiempo
es la corriente eléctrica,rse tiene:

r µ0I d l × r
ˆ
dB =
2
4π rExpresión conocida como la ley de Biot-Savart,
que permite cuantificar campos magnéticos
producidos por corrientes eléctricas que fluyen
por conductores con diferentes disposiciones
geométricas.

Segmento de conductor recto.
Conocer el campo magnético en un punto P,
producido por un segmento de conductor recto
por el cual fluye una corriente eléctrica I.

Segmento de conductorrecto.
Si dividimos la longitud del conductor l
en pequeños segmentos coincidentes
con el sentido de la corriente,
observamos que cada uno de estos
segmentos multiplicados por la corriente
I produce un campo magnético en el
punto P, cuya dirección puede ser
deducida al aplicar la regla de los
productos vectorial indicado en la ley de
Biot – Savart.

Segmento de conductor recto.También se puede aplicar la regla
de la mano derecha en el punto de
interés. En este caso especifico se
ˆ
tiene una dirección de (− k )

Segmento de conductor recto.
De la ley de Biot – Savart, se observa que para
conocer el campo total en el punto P se
requiere de integrar desde donde inicia el
conductor hasta donde termina (desde X1 hasta
X2 o desde alfa1 hasta alfa 2).

r
r
ˆ
ˆ
B = ∫dB = ∫ dB ⋅ (− k ) = B ⋅ (−k )

µ0 ⋅ I dl ⋅ sen ⋅ α
B=∫
2
4π
r

Segmento de conductor recto.
De la última integral se observa que µ 0 y 4π
son constantes y las magnitudes restantes son
variables por lo que es necesario expresar dos
de ellas en función de la tercera.

dl = dx

x
= cot (π − α ) = − cot α → x = −a cot α
a
r
= csc(π − α ) = csc α → r = a csc α
a

Segmento...