ley de enfriamento de newton


UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERIA

ECUACIONES DIFERENCIALES
GRUPO 33

DIVISION DE CIENCIAS BASICAS

“APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES”
LEY DE ENFRIAMENTO DE NEWTON



NOVIEMBRE DE 2014

OBJETIVO

En este trabajo se plantea las formas de trabajo para la resolución de un problema en el que se indican condiciones específicas para determinar la hora de decesode una persona utilizando la Ley de enfriamiento de Newton

PROBLEMA A ESTUDIAR

DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA

Podemos tomar en cuenta un método para resolver problemas de la vida aplicando ecuaciones diferenciales y llevando pasos a cabo que permitan un mejor análisis del procedimiento y sobre todo de los resultados. Algunas de las características fundamentales que podemos apreciar en cualquiersituación son: la identificación del problema, la formulación matemática y el análisis del resultado.

El problema: Se necesita conocer la hora de deceso de una persona de edad muy avanzada cuyo cuerpo fue encontrado sin vida a las doce del día y presuntamente por una muerta natural.
Para identificar el problema necesitamos sacar conclusiones básicas que nos permiten entender cómo vamos aplantar un diseño matemático. Como primer punto la persona murió en su casa en algún momento antes del mediodía, Al medio día el cuerpo fue encontrado a una temperatura de 23.3°C, el cuerpo se enfrió otros 3.2°C en las 3 horas posteriores al medio día. Se asume que la habitación se encontraba a una temperatura constante de 16.3°C

HIPÓTESIS
Este proyecto tiene como base la Ley de enfriamiento de uncuerpo diseñada por Isaac Newton de una forma práctica. Newton se sintió una gran interés a muchas ramas de las matemáticas como el cálculo o la mecánica concentrándose principalmente en ellos, sin embargo también adquirió curiosidad por los cambios de temperatura, el calor y el punto de fusión de los metales que observó cuando fue supervisor de calidad de la acuñación cuando fue funcionario de lacasa de la moneda de Inglaterra.
Observó que al calentar al rojo un bloque de hierro y retirarlo del fuego, el bloque se enfriaba con mayor rapidez cuando estaba muy caliente y de forma más lenta cuando su temperatura se acercaba a la temperatura del medio en el que se encuentra (el aire).
LEYES SEMIEMPIRICAS

Esta ley empírica refiere a los procesos de transferencia de calor por medio de unaecuación diferencial que relaciona la temperatura de enfriamiento de un cuerpo o sustancia con la temperatura del medio. Enuncia que la temperatura de un cuerpo cambia a una velocidad proporcional a la diferencia de las temperaturas entre el medio externo y el cuerpo. Suponiendo que la constante de proporcionalidad sea la misma independientemente de que la temperatura disminuya o aumente, sepuede expresar como una ecuación diferencial de la siguiente forma:

Donde T: temperatura del cuerpo
t: tiempo
Ta: temperatura del ambiente

OBTENCIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO

Entre muchas de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales encontramos una forma sencilla de usarlas que se enfoca a los cambios de las temperaturas de los cuerpos.
Si solucionamos la ecuación diferencial de primerorden y de grado uno por el método de separación de variables, tendríamos lo siguiente:

Integrando en ambas partas de la ecuación



Aplicando la función exponencial










Cuando C es la constante que no cambia se expresa como la diferencia de temperatura de la inicial con el medio por lo que si se define T (0)= T0 C=T0-Ta



Esta es la ecuación que nos permite encontrar temperaturas iniciales o finales, temperaturas del medio en el que se encuentran los cuerpos o el tiempo del cambio de dichas temperaturas. Para ejemplificar mejor las múltiples aplicaciones, se tomara como experimento el deceso de una persona a determinada hora por causas naturales y se desarrollara un modelo matemático simple que...