Ley de enfriamiento


PASO 4.
Utiliza la ley de enfriamiento de Newton, con la temperatura ambiente, la temperatura inicial del pastel (cuando lo acabas de sacar del horno) para plantear una ecuación diferencial que modele la situación.

T(t)= cekt+Tm
Para t= 0min T= 85°C Tm: 24.5°C
Ahora sustituiremos valores y despejaremos para encontrar el valor de C.
85= cekt + 10
85= cek ∙ 0 +24.5 ( e0 = 1)
85= C +24.5
C= 85- 24.5 = 60.5

Ahora, tendremos la ecuación más completa:
T(t)= 60.5ekt + 24.5
PASO 5.

Utiliza el cálculo integral y la temperatura del pastel a los 10 minutos para obtener la función que determina la temperatura del pastel en cualquier momento (tiempo en minutos).

Para t= 10 minutos T= 71°C

71= 60.5ek∙10 + 24.5}

60.5ek∙10 = 71-24.5

60.5ek∙10=46.5ek∙10=46.5/60.5

Ahora, hay que usar la propiedad de los logaritmos porque lo que se está buscando (k), se encuentra en el exponente, por lo tanto:
Lne10k = ln0.7686
10k =ln0.7686
k=ln0.7686 / 10
Ya tenemos los valores de los 2 parametros: c y k, entonces ya tendremos una función completa a la temperatura con respecto al tiempo.






PASO 6.

Utiliza ésta función para determinar la temperaturadel pastel a los 5 y a los 15 minutos y compárala con la temperatura real del pastel. Si hay diferencias significativas explica a que crees que se deban.

Hay que sustituir (t) por 5 y 15.

T(5) = 60.5e-0.0263t + 24.5
T(5) = 60.5e-0.0263(5) + 24.5
T(5) = 77.5°C

T(15) = 60.5e-0.0263t + 24.5
T(15) = 60.5e-0.0263(15) + 24.5
T(15) = 65.3°C


Estas diferencias se deben a: que la Ley deenfriamiento de Newton es empírica y los datos son aproximados. También puede ser por el termómetro que no era muy exacto, si se usara por ejemplo un digital, nos mostraría más claramente todos los dígitos. A pesar de que en nuestro proyecto tomamos que la temperatura ambiente era constante, realmente no tuvo que haber sido así en el entorno de la cocina. Otra razón puede ser que los datos valoresde las constantes, pudieron ser afectados por el redondeo.

PASO 7.
Obtén el promedio de la temperatura de la habitación y la temperatura del pastel cuando acaba de salir del horno.

Tprom: =



PASO 8.
Utiliza la función que encontraste, que sirve para determinar la temperatura del pastel para encontrar el tiempo (en minutos) que tardará el pastel en alcanzar esa temperatura promedio.54.75=60.5e-0,0263t + 24.5

54.75-24.5= 60.5e-0.0263t

=e-0.0263t
ln e-0.0263t =ln 0.5
-0.0263t=ln0.5
t= =







CONCLUSIONES
General.
El alcance que tiene el proceso que desarrollamos para resolver el problema, es muy grande, pero se puede evidenciar de una manera clara y sencilla, en todo el proceso desarrollamos nuestras habilidades en matemáticas que hemos aprendidodurante el transcurso de nuestros cursos de matemáticas como: el despeje, cálculo, integrales, e inclusive hasta propiedades de los logaritmos.
La ley de enfriamiento de Newton en su forma empírica la aplicamos al preparar un pastel y tomando la temperatura de enfriamiento desde el momento de su retiro del horno y luego en tres tiempos a los 5,10 y 15 minutos con una temperatura ambiente de 24.5°C.La fórmula de Newton al integrarla da un aproximado de resultados a los obtenidos con el termómetro al momento de hacer el pastel
Los pasos que seguimos para desarrollarla fueron:
-Integramos la formula por separación de variables
-Anti-derivamos
-Convertimos a exponencial
-Planteo de una ecuación diferencial sobre la ley de enfriamiento de newton
-Obtener la función que determine latemperatura del pastel en cualquier momento.
-Obtención del promedio de la temperatura de la habitación y la del pastel cuando acaba de salir del horno.
Esta ley de newton puede aplicarse cuando la diferencia de temperatura no sea muy grande con resultados aproximadamente ciertos.



Conclusiones personales.
Leslie Ibarra González
En el experimento realizado por el equipo se comprobó que la...