Leyes de composicion interna

LEYES DE COMPOSICION INTERNAS
U OPERACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO A
Una ley de composici´n interna (l.c.i) es una ley que asocia a cada (todo),
o
par de lementos de A otro elemento de A.
Ejemplos: La suma en N y la suma en Z. La suma de vectores. El producto
en N y en Z. La resta en Z.
Ejercicio: La resta en N y el produto escalar de vectores no son leyes de
composici´n intrena ¿porqu´?
o
e
En el ejemplo anterior y el apartado 1 del ejercicio se pone de manifiesto que
una ley no es, ni deja de ser l.c.i. Depende del conjunto en que se establezca
pues la resta es l.c.i en Z pero no lo es en N.
En un conjunto con m´s de un elemento se pueden definir ”muchas” l.c.i.,
a
por ejemplo en Z lo son la suma, la resta y el producto; para cada una de
ellas utilizaremos un signodistinto.
3 + 7 = 10

3 − 7 = −4

3.7 = 21.

Si al conjunto A se el ha dotado de una l.c.i que se denota por ∗ lo representaremos mediante (A, ∗). Notar que (Z, +) = (Z, .) y (Z, +) = (N, +).
PROPIEDADES DE LAS LEYES DE COMPOSICION INTERNAS
Una l.c.i (∗) en un conjunto A es:
CONMUTATIVA: Si ∀ x, y ∈ A se verivica x ∗ y = y ∗ x.
Por lo tanto no es conmutativa si existe una pareja deelementos de A tal
que x ∗ y = y ∗ x.
ASOCIATIVA: Si ∀ x, y, z ∈ A

x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z

No es asociativa si ∃x, y, z ∈ A tales que x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z.

1

Diremos que (A, ∗) tiene ELEMENTO NEUTRO si
∃ e ∈ A tal que e ∗ a = a ∗ e = a,

∀ a ∈ A.

Proposici´n: Si (A, ∗) tiene elemento neutro este es unico.
o
´
Demostraci´n: Supongamos que tuviese dos elementos neutros e y e .o
Por ser e
”
” e

elemento
”

neutro e ∗ e = e ∗ e = e
”
e ∗e=e∗e =e

⇒e=e

Ejemplos: (Z, +) tiene como elemento neutro el 0 y (Z, .) tiene como elemento neutro el 1.
Si (A, ∗) no tiene elemento neutro no podemos hablar de sim´tricos. Pero
e
si tiene elemento neutro, e, puede haber ciertos elementos a ∈ A para los
cuales existe otro elemento a tal que
a ∗ a = a ∗ a = e,diremos entonces que a es el sim´trico de a, y de la definici´n se deduce que
e
o
entonces a es el sim´trico de a .
e
Ejemplos: En (Z, +) el elemento neutro es el 0 y todo elemento x tiene un
sim´trico,el −x. Pero en (Z, .) cuyo elemento neutro es el 1, s´lo el 1 y el −1
e
o
tienen sim´trico.
e
Nota: La propiedad de ser conmutativa una l.c.i. por s´ sola es una propiedad
ı
muy d´bil, puessi la operaci´n a efectuar consta de dos elementos x e y, podee
o
mos, en virtud de su definici´n, asegurar que x ∗ y = y ∗ x, es decir ”el orden
o
de los operandos no altera el resultado”. Pero si en la operaci´n intervienen
o
tres elementos o m´s la afirmaci´n anterior no es cierta como se constata en
a
o
el siguiente
Ejemplo: Sea A = {a, b, c}, dotado de la l.c.i. dada por la tabla
∗a
b
c

a
a
c
b

b
c
b
a
2

c
b
a
c

que es conmutativa, sin embargo a ∗ b ∗ c = c mientras que a ∗ c ∗ b = b. Para
poder asegurar que ”el orden de los operandos no altera el resultado”, la ley
adem´s de conmutativa ha de ser asociativa.
a
GRUPO
Es un conjunto A con una l.c.i. que sea asociativa, tenga elemento neutro y
todo elemento tenga un sim´trico.
e
Ejemplos:
eo
1. (N, +), no es grupo, porque hay elementos que no tienen sim´trico (s´lo
lo tiene el 0).
2. (Z, +), es un grupo.
o
e
3. (Z, .), no es grupo, porque s´lo tienen sim´trico el 1 y el -1.
4. El conjunto de vectores libres del plano y del espacio, con la +, son
grupos.
Notas:
1) Los casos (Z, +) y (Z, .), que acabamos de ver, ponen de manifiesto que
un conjunto no es un grupo, hay quetener en cuenta la l.i.c.
2) Los casos (N, +) y (Z, +), indican que una operaci´n no da estructura de
o
grupo, hay que considerar el conjunto sobre el que est´ definida.
a
Si la l.i.c. del grupo es adem´s conmutativa, se dice que el grupo es conmua
tativo o abeliano.
Todos los ejemplos que hemos visto aqu´ de grupos son abelianos, pero hay
ı
otros que no lo son.
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