Leyes de Morgan

Leyes de Morgan :
1.-(A∪B)c=Ac∩Bc
2.-(A∩B)c=Ac∪Bc
La diferencia de conjuntos tiene la siguiente forma
A∖B=A∩Bc(1)
Para cualquier conjunto A se tiene que: (Ac)c=A
Es importante decir que enteoría de conjuntos se realizan mínimamente dos tareas durante la demostración: ''análisis elemento a elemento" y ''uso de propiedades ya mostradas". Para las personas dedicadas al quehacer matemático,es innecesaria la mención, pues se sobrentiende que así debe ser. Sin embargo, he notado que los estudiantes se desconciertan un poco ante tal situación y en la labor docente en de suma importanciarecalcarlo. En la construcción de estructuras matemáticas, cada piso se construye utilizando y combinando las definiciones, de lo cuál surgen los teoremas, lemas y corolarios; combinando definiciones yteoremas probados nacen nuevos y así sucesivamente. El análisis ''elemento a elemento" se traduce en el uso de las definiciones de unión, intersección, diferencia, etc, que por cierto se dan entérminos de relaciones de pertenencia, conectivos lógicos y proposiciones lógicas.
Empezaré demostrando un par de propiedades de conjuntos, utilizando la técnica elemento a elemento. Posteriormente,recurriré a propiedades conjuntuales ya demostradas en la prueba de otras propiedades.
Si B⊆A entonces
1.- A∪B=A
2.- A∩B=B
DEMOSTRACIÓN:
1.-A∪B=A
Se trata de probar una igualdad de conjuntos, quesegún la definición, se reduce a probar dos contenciones:
A∪B⊆A
Tomemos x∈A∪B. El propósito es mostrar que x∈A.
Por definición de unión, se tienen dos opciones: x∈A∨x∈B. Si x∈A, pues ya terminamos.Suponga que x∈B. Usando la hipótesis original
B⊆A(2)
que en términos informales significa que ''cada elemento de B es elemento de A", resulta que nuestro x∈B debe ser elemento de A, es decir x∈A.A⊆A∪B Tome x∈A. Análogamente al caso anterior, se debe mostrar que x∈A∪B.
Aunque no lo crea se usa la tabla de verdad de la disyunción: para que una disyunción sea verdadera basta con que alguna...