Leyes de Tautología

Tautología, contradicción y contingencia
Al conjunto de proposiciones, conectivos lógicos y símbolos de agrupación lo denominamos fórmula lógica. Por ejemplo: ~{ (p ® q) Ù (s Ù t) }
Si al evaluar una fórmula lógica, resulta que todos los valores de verdad resultantes son siempre V para cualquier combinación de sus valores de verdad, decimos que dicha fórmula es una Tautología o Ley lógica.Ejemplo: Si analizamos la proposición t: p Ú~ p realizando su tabla de verdad:
p
~ p
p Ú ~ p
V
F
F
V
V
V
Vemos que para cualquier combinación de las proposiciones p y su negación ~ p, la proposición t: p Ú ~ p es siempre verdadera. Entonces, la proposición t es una tautología.
Ejemplo: Analicemos ahora la fórmula lógica { ( p ® q ) Ù p } ® q
p
q
p ® q
q ® p
{ ( p ®q ) Ù p } ® q
VV
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
En este caso comprobamos también que independientemente de la combinación de valores de verdad de las proposiciones p y q, el resultado de la fórmula lógica es siempre V. Decimos, aquí también, que esta fórmula es una tautología o ley lógica.
Si al estudiar una fórmula lógica, a diferencia de los ejemplos anteriores resulta que paracualquier valor de verdad de las proposiciones el resultado de dicha fórmula es siempre falso, decimos que dicha fórmula es una Contradicción.
Ejemplo: Analicemos la fórmula lógica p Ù ~ p
p
~ p
p Ù ~ p
V
F
F
V
F
F
Encontramos que la fórmula es siempre falsa, es entonces una Contradicción.
Si una proposición no es una tautología ni una contradicción (es decir que contiene al menos un valor Vy otro F) es una contingencia.
Ejemplos:
a)   (p v q) ↔ (q v p)
     
    “Sí es tautología”
 
 
b) ~(p v q) ↔ (~p) ^ (~q)
  
     “Sí es tautología”
 
 
c)  [(p v q) v r] ↔ [p v (q v r)]
     
         “Sí es tautología”
 
1.7 Equivalencia e Implicación Lógica
1.7.1 Proposiciones lógicamente equivalentes
Dos proposiciones p y q se llaman equivalentes si sus tablas de verdad sonidénticas. De ser así se denota: p Û q
Ejemplo: Sea p: p ® q, recordamos su tabla de verdad:
p
q
p ® q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
Ahora bien, si analizamos la proposición q: ~ p Ú q, su tabla de verdad resulta:
 
p
q
~ p Úq
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
 
Como vemos, luego de realizar las tablas de valor de verdad encontramos que ambas proposiciones tienen el mismoresultado final. Con esto, decimos que ambas proposiciones son lógicamente equivalentes, y en este caso particular lo simbolizamos:
(p ® q) Û (~ p Ú q)
 
Así, se dice que una proposición es equivalente a otra si su bicondicional es tautología
 
a)      Demostrar si P es lógicamente equivalente a Q:
P ≡ [p → {(p v p) ^ (p ^ q)}]
Q ≡ (p → q)
 
[p → {(p v p) ^ (p ^ q)}] ↔ (p → q)
“P si eslógicamente equivalente a Q, porque su bicondicional es una tautología”
 
 
 
b)      Demostrar si P es lógicamente equivalente a Q:
 
P ≡ p
Q ≡ {[(~q v q) ^ ~q] v (p ↔ q)}
 
 
  p ↔ {[(~q v q) ^ ~q] v (p ↔ q)}
 
“P no es lógicamente equivalente a Q porque su bicondicional no es una tautología”
 
1.7.2 Implicación lógica:
Una proposición p implica lógicamente a una proposición q si sucondicional es una tautología:
Ejemplo:
Sea P: (pÙq)®r   y  Q: p® (q  ® r)   , demostrar que P implica lógicamente a Q:
p
q
(p Ùq)
®
r
®
p
®
(q  ®r)  
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
V
F
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
De donde se observa que Psi implica lógicamente a Q debido a que su condicional es una tautología.
a) Demostrar si P implica lógicamente a Q
 
P ≡ [(p ^ q) → r]
Q ≡ [p → (q → r)]
 
[(p ^ q) → r] → [p → (q → r)]
“P si implica lógicamente a Q, porque su condicional es una tautología”
 
 
 
b)      Demostrar si P implica lógicamente a Q:
 
P ≡ (p v q) v [(p v q) → (~q ^ p)]
Q ≡ ~(p → q)
 
 
(p v q) v [(p...