leyes y reglamentos

EDO-Orden n
Definiciones preliminares
Problema de valor inicial
Para una ecuación diferencial lineal, un
problema de valor inicial de orden n es,
resolver:
dny
d n 1 y
dy
an ( x)

dx

n

 an 1 ( x)

dx

n 1

 ...  a1 ( x)

dx

 a0 ( x) y  g ( x )

sujeta a:
y ( x0 )  y0 ,  y ' ( x0 ) y 1,....., y ( n 1) ( x0 )  y n 1

Notas:
 Se busca una funcióndefinida en
algún intervalo I que contenga a x0
 Y satisfaga la ED y las condiciones
iniciales n especificadas:
y ( x0 )  y0 ,  y ' ( x0 ) y 1,....., y ( n  1) ( x0 )  y n 1

 En el caso de una ED – orden 2 una
curva solución debe pasar por el
punto (Xo,Yo) y tener pendiente Y1 en
ese punto.

Teorema 1:
 Sean an ( x), an 1 ( x),...., a1 ( x), a0 ( x)
Y g(x) continuas en unintervalo I, y sea
an ( x) 0

para todo x del intervalo. Si x x0
es cualquier punto en el intervalo,
existe una solución en dicho intervalo
y(x) del problema de valor inicial y es
única.

Ejemplo:
 El problema de valor inicial
3 y ' ' '`5 y ' ' y '7 y 0,   y (1) 0, y ' (1) 0, y ' ' (1) 0

 Tiene la solución trivial y=0. Como la
ecuación de 3-orden es lineal con coef.cts, se cumplen las condiciones del
teorema, por tanto, y=0 es la única
solución en cualquier punto que
contenga x=1

Ejercicio:
 Comprobar que la función
y 3 2 x    2 x  3x

Es una solución del problema de valor
inicial

y ' ' 4 y 12 x,   y (0) 4, y ' (0) 1

Observaciones:
 Ambos requisitos del teorema 1, que
ai ( x), i 0,1,2,..n
an ( x) 0
Sean continuas y quePara todo x en I, son importantes.
an 0
Si
Para una x en I, la solución del
problema de v.i. quizá no sea única o
incluso no exista.

Ejercicio:
 La función

y cx 2  x  3

Es una solución del problema de valor
inicial:
2

x y ' ' 2 xy '2 y 6,   y (0) 3, y ' (0) 1
Para x en intervalo   ,
Y cualquier valor del parámetro c.
No hay solución única (a 2(x)=x2)Problema de valores en la frontera
 Otro tipo de problema es el de resolver una
EDL de orden 2 o mayor en la que la
variable dependiente y, o sus derivadas,
estén especificadas en puntos distintos.
 Un problema como resolver
d2y
dy
a2 ( x ) 2  a1 ( x)  a0 ( x) y g ( x)
dx
dx

Valores en la frontera
 Sujeta a:
y (a )  y0 , y (b)  y1
 Se llama problema de valores en lafrontera.
frontera Los valores y (a)  y0 , y (b)  y1
Se denominan condiciones en la frontera.
Una solución del problema es una función
que satisface la ED en algún intervalo I que
contiene a a y b, cuya gráfica pasa por los
puntos (a,Yo) y (b,Y1).

Otros pares de condiciones en la
frontera:
 Podrían ser:

y ' (a )  y0 , y (b)  y1
y (a )  y 0 , y ' (b)  y1
y ' (a )  y0 , y ' (b) y1

 Son casos especiales de las
condiciones generales en frontera:
1 y (a )  1 y ' (a) 1
 2 y (a)   2 y ' (a) 2

Ejercicio:
 Para la familia biparamétrica de
soluciones: x c1 cos 4t  c2 sen4t
De la ED x ' '16 x 0
 a) infinitas sol.
 b) sol. única
 c) no sol.


x(0) 0, x( ) 0
2

x(0) 0, x( ) 0
8

x(0) 0, x( ) 1
2

Ecuaciones Homogéneas
Una ecuación diferencial de orden n de la
forma:
dny
d n 1 y
dy
an ( x )
 an  1 ( x )
 ...  a1 ( x )
 a 0 ( x ) y 0
n
n 1
dx
dx
dx

Se llama homogénea
 Mientras que una ecuación:
dny
d n 1 y
dy
an ( x) n  an 1 ( x) n 1  ...  a1 ( x)  a0 ( x) y g ( x)
dx
dx
dx

Se llama no homogénea

Operadores diferenciales
 La diferenciación se puede notar
Dy
como:dy
dx
 El símbolo D se llama operador
diferencial porque transforma una
función diferenciable en otra función
 Las derivadas de orden superior :
d  dy  d 2 y
2




D
Dy

D
y
 
2
dx  dx  dx

Operador diferencial
 En general:

dny
n

D
y
n
dx

 El operador diferencial de orden n se
define:
L an ( x) D n  a n 1 ( x) D n  1  .... a1 ( x) D ...