Li Mite De Funciones

LIMITE DE FUNCIONES

1

L´ımite de Funciones

Definici´
on 1.1 Sea A ⊂ R y sea a ∈ R no necesariamente en A. Decimos
que a es un punto de acumulaci´
on de A si para todo > 0 se tiene {(a −
, a + ) \ {a}} ∩ A = ∅.
Ejemplo:
´nico punto de acumulaci´on de A.
1. Si A = { n1 /n ∈ N }, entonces 0 es el u
2. Si B = (0, 1), entonces el conjunto de puntos de acumulaci´on de B es
el intervalo [0, 1].Definici´
on 1.2 Sea f : Dom(f ) → R y sea a un punto de acumulaci´
on
de Dom(f ). Se dice que f (x) tiende a l cuando x tiende a a, y se escribe
lim f (x) = l, si y s´olo s´ı
x→a
∀ > 0 existe δ > 0 tal que
x ∈ Dom(f ) y 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − l| < .
Observaci´
on:
1. Al igual que en el caso de sucesiones esto significa intuitivamente que
cuando la variable x se acerca a a a lo largo del dominio def , el valor
de la funci´on f (x) se acerca a l.
1

2. Hacemos notar que el valor, y la existencia, del l´ımite no dependen del
valor de la funci´on en el punto a sino del valor de f en los puntos del
dominio cercanos a a. La funci´on f ni siquiera necesita estar definida
en a para definir x→a
lim f (x).
3. Si f y g son dos funciones tales que para a ∈ R se tiene que existe
α > 0 tal que
Dom(f )∩ {(a − α, a + α) \ {a}} = Dom(g) ∩ {(a − α, a + α) \ {a}}
y adem´as a es punto de acumulaci´on de Dom(f ), (y por lo tanto
tambi´en de Dom(g)).
Entonces si
f (x) = g(x) ∀ x ∈ (a − α, a + α) \ {a},
se tiene que
lim f (x) existe si y s´olo s´ı x→a
lim g(x) existe

x→a

y en el caso de que existan se tiene
lim f (x) = lim g(x).

x→a

x→a

En lo que sigue de esta secci´
on cuando hablemos de lim f(x)
x→a
siempre estaremos pensando en el caso que existe alg´
un α > 0 tal
que {(a − α, a + α) \ {a}} ⊂ Dom(f ). El alumno interesado puede consultar alg´
un texto para el caso mas general. Para el caso de lim f (x) si el
x→a
dominio de f es de la forma (a, b) vea la secci´on sobre l´ımites por la derecha
y por la izquierda.
Observaci´
on:
Como en el caso de sucesiones observamos que las cuatroafirmaciones
siguientes son equivalentes:
1) lim f (x) = l.
x→a

2) lim (f (x) − l) = 0.
x→a

2

3) lim |f (x) − l| = 0.
x→a

4) lim f (a + h) = l.
h→0

Ejemplo:
Probar que si n ∈ N y n > 0, entonces lim xn = 0.
x→0

Soluci´
on:
Si alguien nos da un debemos encontrar un δ tal que cada vez que
0 < |x − 0| < δ se tenga |xp − 0| < .
Esto es bastante f´acil ya que si alguien nos da un
1
δ = n y entoncesse tiene

nosotros escogemos

0 < |x| < δ ⇒ |xn | = |x|n < δ n = .
Ejercicio:
Sea f definida por

f (x) =



x2 + 2



2


 x

si
si
si
si
si

17




x2



 2

x −7

x < −1
−1 ≤ x < 0
x=0
0 1
a) Grafique la funci´on.
b) Compruebe que
lim f (x) = 0.

x→0

Teorema 1.1
lim x = a

x→a

Demostraci´
on:
Si alguien nos da un debemos encontrar un δ tal que cada vez que
0 < |x − a| <δ se tenga |x − a| < . Es claro que la elecci´on δ = sirve.

3

Teorema 1.2
lim C = C

x→a

Demostraci´
on:
Si alguien nos da un debemos encontrar un δ tal que cada vez que
0 < |x − a| < δ se tenga |C − C| < . Es claro que cualquier δ sirve.
Pasamos ahora a demostrar algunos teoremas b´asicos sobre l´ımites.
Ejercicio:
Probar que si x→a
lim f (x) = l y M es una constante, entonces x→a
lim (M f(x)) =
M l.
Teorema 1.3
Si x→a
lim f (x) = l y x→a
lim g(x) = m, entonces
lim (f (x) + g(x)) = l + m

x→a

.
Demostraci´
on:
Sea > 0 dado.
Como lim f (x) = l, existe δ1 > 0 tal que
x→a

0 < |x − a| < δ1 ⇒ |f (x) − l| < .
2
Como lim g(x) = m, existe δ2 > 0 tal que
x→a

0 < |x − a| < δ2 ⇒ |g(x) − m| < .
2
Obsevamos que
|(f (x) + g(x)) − (l + m)| ≤ |f (x) − l| + |g(x) − m|.
Ahora tomando δ = min(δ1 ,δ2 ) tenemos
0 < |x−a| < δ ⇒ |(f (x)+g(x))−(l+m)| ≤ |f (x)−l|+|g(x)−m| <
4

2

+

2

=

lo que termina la demostraci´on.
Antes de dar el teorema para el producto y el cuociente veremos el teorema
del Sandwich que es bastante u
´til.
Teorema 1.4 (del sandwich.)
Sean f, g, h tres funciones tales que
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) ∀ x ∈ {(a − α, a + α) \ {a}} para alg´
un α > 0.
Entonces si
lim f (x) = lim...

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