Libro Programacion Cap2

Cap´ıtulo

3

L´ogica Matem´atica
3.1. L´
ogica Proposicional
Definici´
on. Una proposici´on cerrada o simplemente proposici´on es un juicio, afirmaci´on
o enunciado el cual se puede calificar como verdadero o falso, pero no ambos simult´aneamente.
• No es necesario saber de antemano s´ı es verdadero o falso.
• Pero con certeza el enunciado debe poseer alg´
un valor fijo que lo califique.
• Nodebe haber incertidumbre acerca de s´ı se posee un valor que lo califique.
Una proposici´on consta b´asicamente de tres partes:
• Un sujeto: del cual se dice algo o que ´el hace algo.
• Un verbo: que indica un estado o una acci´on que realiza el sujeto.
• El complemento: que describe o aclara el estado o acci´on que realiza el sujeto.
Ejemplos. Los siguientes enunciados son ejemplos deproposiciones
Ejemplos. Los siguientes enunciados son ejemplos de proposiciones
p:
q:
r:
s:
t:
u:
v:
w:
x:

El jugador est´a en la casilla [2, 2].
El archipi´elago de San Andr´es, Providencia y Santa Catalina pertenece a Colombia.
El perro corre velozmente por la pradera jugando con la pelota azul y verde.
2√+ 2 ≠ 4.
3
125 = 5.
Existe vida alienigena inteligente.
El universo tiene una longitud infinita.
Est´alloviendo.
Ma˜
nana es s´abado.
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CAP´ITULO 3. LOGICA
MATEMATICA

Ejemplos. Los siguientes enunciados son ejemplos que no son proposiciones
• ¿Vamos ma˜
nana a cine?; ¿Hacemos quiz?. (interrogaciones)
• ¡Ah, cu´anta mentira hay en esos argumentos!; ¡No te vayas!. (exclamaciones, deseos)
• No te aprendas la tablas de memoria; No te metas con ese muchacho; C´allate. (consejos, mandatos)
•El lindo y hermoso perro de Mar´ıa Antonieta; El ronroneo de los gatos. (no son
afirmaciones que puedan valorarse)
• x + 9 = 21 (no hay un sujeto fijo predeterminado, ´este se denomina un enunciado
abierto)
• Ma˜
nana llover´a (hay incertidumbre acerca del valor que califica el enunciado, no
tiene una calificaci´on fija y precisa)

3.1.1. El lenguaje de la l´
ogica proposicional
En la l´ogicaproposicional, el l´exico esta definido por tres elementos: los s´ımbolos o
letras proposicionales, los conectivos l´ogicos y los par´entesis.
Definici´
on. El l´exico de la l´ogica proposicional se compone de tres tipos de lexemas:
s´ımbolos y/o letras proposicionales: ⊥, ⊺, p, q, r, s, t, p0 , p1 , . . .
conectivos l´
ogicos: ¬, ∨, ∧, →, ↔
s´ımbolos auxiliares: (, )
El s´ımbolo proposicional ⊥ (quese lee “bottom”) es usado para representar una proposici´on gen´erica que su significado es siempre falso 1 , mientras que ⊺ (que se lee “top”) es
usado para representar una proposici´on gen´erica que su significado es siempre verdadero 2 .
Las letras proposicionales p, q, r, s, t, p0 , p1 , . . . son usadas para representar proposiciones, por lo tanto el significado de una letra proposicional esel significado que tiene la
proposici´on que dicha letra representa.
Los conectivos l´ogicos son operadores l´ogicos que permiten formar frases que se llaman
proposiciones compuestas o f´ormulas l´ogicas a partir de s´ımbolos y/o letras proposicionales.
En la definici´on m´as com´
un de la l´ogica proposicional cl´asica, estos operadores son:
La negaci´
on: es un operador unario prefijo que serepresenta mediante el s´ımbolo (¬),
que se lee “no”.
1
2

Que se representar´
a abreviadamente por el s´ımbolo F .
Que se representar´
a abreviadamente por el s´ımbolo V .

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3.1. LOGICA
PROPOSICIONAL

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La disyunci´
on: es un operador binario infijo que se representa mediante el s´ımbolo (∨),
que se lee “o”.
La conjunci´
on: es un operador binario infijo que se representa mediante el s´ımbolo(∧),
que se lee “y”.
El condicional: o implicaci´on es un operador binario infijo que se representa mediante el
s´ımbolo (→), que se lee “entonces” o “implica”. A el primer operando del operador
condicional se le suele llamar el antecedente de la implicaci´on y a el segundo operador
se le suele llamar el consecuente de la implicaci´on.
El bicondicional: o equivalencia o doble implicaci´on es un...