Licenciado en Historia

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5 SEMEJANZA

E J E R C I C I O S

P R O P U E S T O S

5.1 Un triángulo puede definirse dando la medida de sus tres lados. Indica cuáles de las siguientes parejas
de triángulos son semejantes.
a) 5, 6, 7 y 15, 18, 20
b) 4, 6, 8 y 1; 1,5; 2
5
6
a) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
15
18

6
4
8
b) ᎏᎏ ϭ ᎏ ϭ ᎏᎏ ⇒ Son semejantes.
15
1
2

7
ᎏᎏ ⇒ No sonsemejantes.
20

5.2 Razona si son semejantes estas figuras.
a) Dos cuadrados.
b) Tres triángulos equiláteros.
c) Dos rectángulos.
a) Los ángulos de un cuadrado y de otro son todos iguales; además, al ser los cuatro lados iguales, siempre estarán en la misma proporción los de un cuadrado con los del otro.
b) Tres triángulos equiláteros tendrán los tres ángulos iguales de 60Њ, y como loslados de cada triángulo serán iguales, serán proporcionales los de un triángulo con los del otro.
c) Dos rectángulos, en general, no son semejantes porque los lados no tienen por qué ser proporcionales. Por ejemplo, si en un
b
h
2
rectángulo b ϭ 1 cm, h ϭ 2 cm, y en otro, bЈ ϭ 1 cm, hЈ ϭ 3 cm, entonces ᎏᎏ ϭ 1 ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ.
3
bЈ
hЈ
5.3 La escala de un mapa es de 1:2 500 000. ¿A cuántos kilómetrosse encontrarán dos ciudades que en el
mapa están separadas 12 centímetros?
Escala 1:2 500 000. En el mapa, 12 cm representan 12 · 2 500 000 ϭ 30 000 000 cm ϭ 300 km.
5.4 Un triángulo equilátero tiene 40 centímetros cuadrados de área. Halla el área del triángulo que se obtiene al unir los puntos medios de los lados.
1
1
Obtendremos un triángulo de razón k ϭ ᎏᎏ; por tanto, la razón de lasáreas será k2 ϭ ᎏᎏ. El área del nuevo triángulo será
2
4
1
A ϭ ᎏᎏ и 40 ϭ 10 cm 2.
4
5.5 Halla las medidas que faltan en la figura.
Aplicando el teorema de Tales,
125
a
230
ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
50
60
b
230 m

a

Entonces, a ϭ 150 m, y b ϭ 92 m

60 m

b
50 m

125 m

5.6 En una recta r hay tres puntos A, B y C que distan sucesivamente 3 y 4 centímetros. Por esos puntos se
trazanrectas paralelas que cortan a otra, s, en M, N y P.
Si el segmento MN mide 9 centímetros, ¿cuál es la distancia entre los puntos N y P?
P

3
4
ᎏᎏ ϭ ᎏ ᎏ
9
NP
NP ϭ 12 cm

N

9

cm

M
3 cm
A

104

4 cm
B

r
C

s

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5.7 Dibuja un triángulo cualquiera ABC y construye paso a paso dos triángulos semejantes a él.
a) Uno derazón 1 : 2
b) Otro de razón 2 : 1
Partiremos de un triángulo ABC.
a) Con los mismos ángulos y multiplicando por dos cada uno de sus lados obtenemos un triángulo de razón 1 : 2.
b) Si, con los mismos ángulos, dividimos los tres lados del triángulo ABC entre dos, obtenemos un nuevo triángulo de razón 2 : 1.

5.8 Determina si son semejantes los triángulos que se indican.
p
p
p
p
a) A ‫ ,؇06؍‬B ‫ ؇04 ؍‬y A ‫ ,؇08 ؍‬E ‫°06 ؍‬
p
p؅
b) A ‫ ,؇09 ؍‬b ‫ ,6 ؍‬c ‫ 8 ؍‬y A ‫ ,°09 ؍‬b؅ ‫ ,5 ؍‬c؅ ‫7 ؍‬
p
p
p
p
c) A ‫ ,؇54 ؍‬B ‫ ؇57؍‬y D ‫,؇56 ؍‬E ‫°57 ؍‬
p ‫ ؇06 ؍‬y a؅ ‫ ,51 ؍‬b؅ ‫ ,42 ؍‬C ‫06 ؍‬º
p؅
d) a ‫ ,5 ؍‬b ‫ ,8 ؍‬C
p
p
F ϭ 180 Ϫ (80 ϩ 60) ϭ 40º
a) C ϭ 180 Ϫ (60 ϩ 40) ϭ 80Њ
Los dos triángulos tienen todos sus ángulos iguales. Por el criterio 1 sabemos que son semejantes.
6b) ᎏᎏ
8

5
ᎏᎏ no son proporcionales los lados que comprenden al ángulo igual (criterio 3); por tanto, no son semejantes.
7

p
p
c) C ϭ 180 Ϫ (45 ϩ 75) ϭ 60Њ
F ϭ 180 Ϫ (65 ϩ 75) ϭ 40Њ
Solo tienen un ángulo igual; por tanto, no son semejantes (criterio 1).
5
8
d) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ son proporcionales y el ángulo que abarcan es igual; por tanto, son semejantes (criterio 3).
15
24

5.9 Loscatetos de un triángulo rectángulo miden 6 y 8 centímetros. Si la hipotenusa de otro triángulo rectángulo semejante mide 20 centímetros, calcula las longitudes de la hipotenusa del primero y de los catetos del segundo.
Utilizamos el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa del primero:
h 2 ϭ 6 2 ϩ 8 2 ⇒ h 2 ϭ 100 ⇒ h ϭ 10 cm
Como los triángulos son semejantes:
c1
c2
20
ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ...