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UNIVERSIDAD ESTATAL DE CUENCA
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL

MATERIA:
METODOS NUMERICOS

TEMAS:





CUADRATURA DE GAUSS
METODO DE FEDEER - LEVERRIER
INTERPOLACION POLINOMIAL
INTERPOLACION CON POLINOMIO DE NEWTON

PROFESOR:
Ing. GERARDO ARBITO

ALUMNO:

HENRY DANIEL CARRION

PERIODO LECTIVO
MARZO- JULIO 2012

1. EL METODO DE CUADRATURA DEGAUSS

Las fórmulas de Trapecios y Simpson utilizan nodos equidistantes y dan valores exactos
para polinomios de grado menor o igual que n (n = 1 en el caso de Trapecios y n = 2 en
el caso de Simpson).La elección de puntos equidistantes no es la mejor. Puede
seleccionarse los puntos de manera que mejore la aproximación.
Supóngase que la restricción de los puntos fijos es eliminada y se tiene lalibertad de
evaluar el área bajo una recta que conecta dos puntos cualesquiera sobre la curva. Al
ubicar estos puntos en forma “inteligente”, se puede definir una línea recta que equilibre
los errores negativos y positivos. El objetivo de la cuadratura de Gauss es determinar los
coeficientes de una ecuación de la forma:

En la cual las c son coeficientes desconocidos. En contraste con laregla trapezoidal que
usa los puntos extremos fijos a y b, los argumentos de la función x0 y x1 no están fijos
en los puntos extremos.
Se tienen cuatro incógnitas que deben ser evaluadas y se requieren cuatro condiciones
para determinarlas con exactitud. Se pueden obtener dos de esas condiciones al suponer
que la ecuación ajusta la integral de una constante y de una función lineal con exactitud.Para tener las otras dos condiciones, se extiende este razonamiento al suponer que
también ajusta la integral de una función parabólica (y = x2) y de una cúbica (y = x3).
Las cuatro funciones a resolverse son:

Resolviendo simultáneamente:

Sustituyendo en la ecuación de coeficientes para obtener la ecuación de Gauss de dos
puntos:

Se llega a un resultado interesante en el que lasimple suma de los valores de la función
en x = 1/√3 y –x = 1/√3 dan una estimación de la integral que tiene una exactitud de
tercer orden.
Obsérvese que los límites de integración de las ecuaciones son de -1 a 1. Esto se hizo
para simplificar las matemáticas y para hacer la formulación tan general como sea
posible. Es posible usar un cambio de variable para trasladar cualquier límite a estaforma. Suponiendo que una nueva variable xd se relaciona con la variable original x en
una forma lineal, como en:

Si el límite inferior x = a, corresponde a xd = -1, estos valores podrán sustituirse en la
ecuación anterior para dar:

De manera similar, el límite superior x = b, corresponde a xd = 1, para dar:

Resolviendo estas ecuaciones simultáneamente:

Las cuales se pueden sustituir enla ecuación de relación para obtener:
Esta ecuación puede diferenciarse para dar:

Las dos ecuaciones anteriores podrán sustituirse para x y dx, respectivamente, en la
evaluación que se habrá de integrar. Esas sustituciones transforman el intervalo de
integración sin cambiar el valor de la integral.

CODIFICACION EN MATLAB
function[r]=cuadratgauss(u,a,b)
symst% DECLARAA COMO SIMBOLICALA VARIABLE t
h=subs(u,((a+b)+(b-a)*t)/2);
% EVALUACIONDE LA FUNCION EN LOS
LIMITES
pretty(h)
% MUESTRA DE FORMA ORDENADA FA FUNCION
k=subs(h,((1/3)^(1/2)));
% EVALUACION DE LA NUEVA FUNCION EN
RAIZ
l=subs(h,-1*((1/3)^(1/2)));
% DE (1/3)
r=((b-a)/2)*(k+l);
% APLICACION DE LA FORMULA DE LA
CUADRATURA
x=[-10:0.1:10];
% DE GAUSS
ezplot(u,x)
grid on
xlabel('EJE x')
ylabel('EJE y')title('GRAFICO DE LA FUNCION QUE INTEGRAMOS')
end

Función para el ejemplo
function[fun]=fun(x)
symsx
fun = -x^2+x+6; %FUNCION POR DEFECTO
end

EJEMPLO PARA EJECUTAR EL PROGRAMA



Comparación del método de cuadratura de gauss con otros métodos

Métodos

Numero de solución

Valor exacto

error

-98569.57986111114

-98943.199999998

0.3776%

divisiones
Cuadratura...