Linalg

Álgebra lineal
Prof: Leonid Fridman

Vectores y subespacios lineales
•

Vector: Un vector en Rn es una n-tupla de números reales

•

Espacio
p
lineal: Un conjunto
j
no vacío L de elementos x, yy, z, …
satisface las siguientes condiciones:

q
que

1. Dado x,y en L esta definido univocamente un tercer
elemento z en L, llamado suma de ellos y denotado por
1. Conmutatividad
2. Asociatividad
3.Existencia de cero
4. Existencia de elemento opuesto

Vectores y subespacios lineales
2. Para cualquier numero a y cualquier x en L esta definido ax
de manera que
( ) = (ab)x
( )
1. a(bx)
2. 1 x = x
3. Las operaciones de adición y multiplicación están
relacionadas entre si mediante
1. (
2. 2
Ejemplos:
1) La recta numérica.
2) Espacio vectorial de n dimensiones Rn
3) Funciones continuas sobre unsegmento [a,b]

Vectores y subespacios lineales

• Dependencia
p
lineal: El conjunto
j
de vectores
linealmente dependiente si

es

es cierta para una colección
de
números reales no todos cero. Si, por ejemplo, a1 es
distinta de cero, entonces

Vectores y subespacios lineales
• Dimensión: La dimensión de un espacio es el número máximo de vectores
linealmente independientes
p
((i.e. en Rn hay
y maximo nvectores
linealmente independientes).
• Base: Un conjunto de vectores linealmente independientes tal que
cualquier
q
vector en el espacio
p
p
puede ser expresado
p
como una
combinación lineal del conjunto.
Si

es una base, entonces

Defina una matriz cuadrada de nxn
entonces x puede ser expresado como

donde
lo llamamos como la representación
de x con respecto a la base

Vectores y subespacioslineales
Asociaremos a cada Rn la siguiente base ortonormal

y con respecto a ella tenemos que

donde In es la matriz identidad.

Vectores y subespacios lineales
• Subespacio o span: el conjunto de todas las posibles combinaciones
lineales de

• El complemento ortogonal S de un subspacio S sub Cn se define como

donde los vectores

son ortonormales
ortonormales.

• Una matriz A en Cmxn puede serconsiderada como una transformación
lineal

Vectores y subespacios lineales
• El Kernel o espacio nulo de una transformación lineal
define como

se

• La imagen o rango de una transformación lineal es

• La dimensión del subspacio Ker A = N(A)
de la transformación A, esto es

se conoce como el defecto

Vectores y subespacios lineales
• Producto interno: El producto interno de dos vectores a,bdenota como

para el caso de a,b reales es equivalente

se

Vectores y subespacios lineales
• Norma de vectores: Cualquier función real de x , denotada por ||x||, es una
norma si cumple
p las siguientes
g
condiciones
1. ||x||>0
2.

para todo x y ||x||=0

si y solo si x=0.

, para cualquier a real.

3.
Hay normas típicas como

((norma euclidiana))

para toda x1 y x2.

Vectores y subespacioslineales
• Vector normalizado: Si su norma euclidiana es 1. Es decir
• Vectores
V t
ortogonales:
t
l
D vectores
Dos
t
x1
1 y x2
2 son ortogonales
t
l sii y solo
l sii

Un conjunto
j
de vectores xi
ortonormales si

son

• Algoritmo de Ortogonalización: Dado un conjunto de vectores linealmente
independientes

Vectores y subespacios lineales
• Algoritmo de Ortonormalización: Dado un conjunto de vectoreslinealmente independientes se puede obtener un conjunto
ortonormal siguiendo el siguiente algoritmo:

1. Normalizar e1.
2 El vector
2.
t ((q’e2)q
’ 2) es lla proyección
ió d
de e2
2 sobre
b q1.
1 Al
substraerlo de e2 queda la parte vertical u2 y se
normaliza.
.
.
.

Vectores y subespacios lineales

Vectores y subespacios lineales
Si A =
es una matriz de nxm, , m>n
columnas son ortonormalesentonces

y si todas sus

Transformaciones de similaridad
• Una matriz A de nxn

.

• Dos bases ortonormales para Rn

• La columna i de A tiene su representación con respecto a la base i es
• La columna i de A tiene su representación con respecto a la base q es

La matriz A tiene una representación A con respecto a q

.
.

Transformaciones de similaridad
Ejemplo Resuelva:
Ejemplo.

Transformaciones...