Lineal Transforms Operations Es

Operaciones con transformaciones lineales
Objetivos. Definir la suma, el producto por escalar y el producto de transformaciones
lineales. Conocer sus propiedades elementales.
Requisitos.Transformaciones lineales, operaciones con funciones, composici´on de funciones.

1. Definici´
on (suma de transformaciones lineales). Sean T, U ∈ L(V, W ). La aplicaci´on T + U : V → W se define mediante laf´ormula
∀v ∈ V

(T + U )(v) := T (x) + U (v).

2. Proposici´
on (la suma de dos transformaciones lineales es lineal). Sean T, U ∈
L(V, W ). Entonces T + U ∈ L(V, W ).
Demostraci´on. Probemos que T + U esaditiva. Sean a, b ∈ V . Entonces
(i)

(ii)

(T + U )(a + b) === T (a + b) + U (a + b) === T (a) + T (b) + U (a) + U (b)
(iii)

(iv)

==== T (a) + U (a) + T (b) + U (b) ==== (T + U )(a) + (T + U)(b).
En (i) y (iv) usamos la definici´on de T + U , en (ii) la aditividad de T y U , en (iii) las
propiedades asociativa y conmutativa de la adici´on en el espacio vectorial W .
Ahora probemos que T + Ues homog´enea. Sean a ∈ V , γ ∈ F. Entonces
(i)

(ii)

(T + U )(γa) === T (γa) + U (γa) === γT (a) + γU (a)
(iii)

(iv)

==== γ T (a) + U (a) ==== γ(T + U )(a).
En (i) y (iv) aplicamos la definici´onde T + U , en (ii) la propiedad homog´enea de T y U ,
en (iii) una de las dos leyes distributivas en el espacio vectorial W .
3. Definici´
on (producto de una transformaci´
on lineal por un escalar).Sean
T ∈ L(V, W ) y λ ∈ F. La aplicaci´on λT : V → W se define mediante la f´ormula
∀v ∈ V

(λT )(v) := λT (v).

Operaciones con transformaciones lineales, p´agina 1 de 3

4. Definici´
on (producto detransformaciones lineales). Sean T ∈ L(V, W ) y S ∈
L(W, X). La aplicaci´on ST : V → X se define mediante la f´ormula
∀v ∈ V

(ST )(v) := S(T (v)).

En otras palabras, ST = S ◦ T .

5. Ejercicio.Demuestre que las aplicaciones λT y ST de las dos definiciones anteriores
son transformaciones lineales.

6. Ejercicio: L(V, W ) es un EV. Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F.
Demuestre...