Linealidad E Invarianza En El Tiempo

181

3 An´alisis de Fourier

3.4.1

Linealidad e invarianza en el tiempo

Sistema Lineal
Un sistema, se discuti´o ya en el primer cap´ıtulo, transforma una se˜
nal de entrada en una
se˜
nal de salida (figura 1.1, p´agina 4). As´ı, si la salida del sistema es y(t) y su entrada x(t),
entonces la relaci´on entre ambas puede expresarse como
y(t) = T [x(t)]
donde el operador T [·] denota latransformaci´on hecha a la se˜
nal por el sistema. As´ı, para
dos se˜
nales de entrada x1 (t) y x2 (t), el sistema producir´a dos se˜
nales de salida:
y1 (t) = T [x1 (t)]
y2 (t) = T [x2 (t)]
El sistema se denomina lineal, si para dos valores escalares α1 y α2 cualesquiera se cumple
adem´as que
α1 y1 (t) + α2 y2 (t) = T [α1 x1 (t) + α2 x2 (t)]
Esta propiedad de linealidad puede expresarse de forma m´asgeneral como
n

n

αi yi (t) = T
i=1

αi xi (t)
i=1

para n entradas diferentes con yi = T [xi (t)].
Ejemplo 3.18 Determine si los sistemas y(t) = T [x(t)] son lineales.
1. y(t) =

d
x(t)
dt

2. y(t) = x(−t)
3. y(t) = x(t) + 1
Soluci´
on: Para comprobar la linealidad se calcula por un lado la combinaci´on lineal de las
respuestas a diferentes entradas por separado, y luego se verifica que dichacombinaci´on
equivale a la respuesta del sistema a la combinaci´on lineal de las entradas.
1. Si y1 (t) =

d
x (t)
dt 1

y y2 (t) =

d
x (t)
dt 2

entonces

α1 y1 (t) + α2 y2 (t) = α1

d
d
x1 (t) + α2 x2 (t)
dt
dt

Por otro lado, si x(t) = α1 x1 (t) + α2 x2 (t) y se calcula y(t) = T [x(t)] entonces
y(t) =

d
d
d
d
x(t) =
[α1 x1 (t) + α2 x2 (t)] = α1 x1 (t) + α2 x2 (t)
dt
dt
dt
dt

por lo que el sistemaes lineal.

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3.4 Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo y la Convoluci´
on

2. Si y1 (t) = x1 (−t) y y2 (t) = x2 (−t) entonces
α1 y1 (t) + α2 y2 (t) = α1 x1 (−t) + α2 x2 (−t)
Por otro lado, si x(t) = α1 x1 (t) + α2 x2 (t) y se calcula y(t) = T [x(t)] entonces
y(t) = x(−t) = α1 x1 (−t) + α2 x2 (−t)
lo que indica que el sistema es lineal.
3. Si y1 (t) = x1 (t) + 1 y y2 (t) = x2 (t) + 1entonces
α1 y1 (t) + α2 y2 (t) = α1 x1 (t) + α2 x2 (t) + α1 + α2
Por otro lado, si x(t) = α1 x1 (t) + α2 x2 (t) y se calcula y(t) = T [x(t)] entonces
y(t) = x(t) + 1 = α1 x1 (t) + α2 x2 (t) + 1
lo que indica que el sistema no es lineal.
3.18

Sistema Invariante en el Tiempo
Un sistema se denomina invariante en el tiempo si la salida es siempre la misma ante una
misma entrada, sin importar el instantede tiempo en el que se aplica dicha entrada. En
otras palabras, un sistema se denomina invariante en el tiempo si
y(t) = T [x(t)]

⇒

y(t − t0 ) = T [x(t − t0 )]

Ejemplo 3.19 Determine si los sistemas y(t) = T [x(t)] son invariantes en el tiempo.
1. y(t) =

d
x(t)
dt

2. y(t) = x(−t)
3. y(t) = x(t) + 1
Soluci´
on: Para corroborar la invarianza en el tiempo se calcula primero la respuesta delsistema a la se˜
nal desplazada en el tiempo, y luego se compara esto con la respuesta a la
entrada sin desplazar, desplazada en el tiempo.
1. Si y(t) = dtd x(t) entonces la respuesta a x(t−t0 ) es dtd x(t−t0 ). La salida y(t) desplazada
en el tiempo es tambi´en dtd x(t − t0 ) por lo que el sistema es invariante en el tiempo.
2. Si y(t) = x(−t) entonces la respuesta a la se˜
nal x(t) desplazada en eltiempo es
x(−(t − t0 )) = x(−t + t0 ). Por otro lado, si se desplaza la salida correspondiente
a x(t) entonces y(t − t0 ) = x(−t − t0 ). Esto implica que el sistema es variante en el
tiempo.

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3 An´alisis de Fourier

3. Si y(t) = x(t) + 1 la respuesta a la entrada desplazada es x(t − t0 ) + 1, y la respuesta
desplazada correspondiente a x(t) tambi´en es y(t − t0 ) = x(t − t0 ) + 1 por lo queel
sistema es invariante en el tiempo.
3.19

Sistema LTI
Los sistemas lineales e invariantes en el tiempo (o sistemas LTI por sus siglas en ingl´es Linear and Time Invariant) corresponden a una importante clase de sistemas en el an´alisis
de fen´omenos reales, al permitir modelar comportamientos complejos con herramientas matem´aticas tan poderosas como las transformadas de Fourier y Laplace....