Sistemas Lineales Invariantes

PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO

Recuerda: Las representaciones de los sistemas LTI continuos y discretos en t´rminos e de sus respuestas al impulso unitario est´n dados por a
∞

y[n] =
k=−∞ ∞

x[k] ∗ h[n − k] = x[n] ∗ h[n]

y(t) =
−∞

x(s)h(t − s)ds = x(t) ∗ h(t)

Por tanto, las caracter´ isticas de un sistema LTI est´n determinadas completamentepor su a respuesta al impulso (SOLO PARA SISTEMAS LTI). Propiedad conmutativa.∞

x[n] ∗ h[n] = h[n] ∗ x[n] =
k=−∞

h[k]x[n − k]

DEMOSTRACION Si hago k=n-r,
∞

x[n] ∗ h[n − k] =
r=−∞

x[n − r]h[r] = h[n] ∗ x[n]

An´logo el caso continuo: a
∞

x(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ x(t) =
−∞

h(s)x(t − s)ds

(Se demuestra de manera semejante al caso discreto). Interpretaci´n.- Si x[n] ∗ h[n] =h[n] ∗ x[n], entonces la salida de un sistema LTI con o entrada x[n] y respuesta al impulso unitario h[n], es id´ntifca a la salida de un sistema LTI e con entrada x[n] y respuesta al impulso unitario x[n]. Propiedad distributiva Caso discreto: x[n] ∗ (h1 [n] + h2 [n]) = x[n] ∗ h1 [n] + x[n] ∗ h2 [n] Caso continuo: x(t) ∗ (h1 (t) + h2 (t)) = x(t) ∗ h1 (t) + x(t) ∗ h2 (t) 1

Interpretaci´n.- Ent´rminos de interconexiones de sistemas: o e

Los sitemas con respuestas al impulso h1 (t), h2 (t) tienen id´nticas entradas y sus e salidas se suman puesto que: y1 (t) = x(t) ∗ h1 (t) y2 (t) = x(t) ∗ h2 (t) La salida es y(t) = x(t) ∗ h1 (t) + x(t) ∗ h2 (t) Consideremos

(Este sistema y el anterior son id´nticos) e y(t) = x(t) ∗ (h1 (t) + h2 (t)) Consecuencia de las propiedades conmutativa ydistributiva: (x1 [n] + x2 [n]) ∗ h[n] = x1 [n] ∗ h[n] + x2 [n] ∗ h[n] (x1 (t) + x2 (t)) ∗ h(t) = x1 (t) ∗ h(t) + x2 (t) ∗ h(t) Lo cual establece que la respuesta de un sistema LTI a la suma de dos entradas debe ser igual a la suma de las respuestas a esas seales de manera individual. Propiedad asociativa x[n] ∗ (h1 [n] ∗ h2 [n]) = (x[n] ∗ h1 [n]) ∗ h2 [n] x(t) ∗ (h1 (t) ∗ h2 (t)) = (x(t) ∗ h1 (t)) ∗h2 (t) ´ (DEMOSTRACION.- Basta manipular sumas e integrales)

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SISTEMAS LTI CON Y SI MEMORIA Un sistema es sin memoria si su salida en cualquier tiempo depende s´lo del valor de o la entrada en ese mismo tiempo. Como
∞

y[n] =
k=−∞

x[k]y[n − k] = x[n] ∗ h[n]

para que lo anterior se cumpla en un sistema discreto, debe ocurrir que h[n] = 0 para n = 0. En este caso, la respuesta alimpulso, tiene la forma: h[n] = Kδ[n], con K = h[0], es una cte

y la suma de convoluci´n se reduce a la relaci´n: o o y[n] = Kx[n] Si h[n] = 0 para n = 0 entonces EL SISTEMA LTI TIENE MEMORIA. An´logamente para que un sistema LTI continuo sea sin memoria, debe ocurrir que a h(t) = 0 para t = 0, de modo que y(t) = Kx(t) para alguna constante K y tiene la respuesta al impulso h(t) = Kδ(t) Nota.-Tanto sistemas discretos como continuos, si K=1, entonces los sistemas llegan a ser sistemas identidad (misma salida que entrada y la respuesta al impulso unitario es el propio impulso unitario). En esos casos:
∞

x[n] = x[n] ∗ δ[n] =
k=−∞ ∞

x[k]δ[n − k]

x(t) = x(t) ∗ δ(t) =
−∞

x(s)δ(t − s)ds

Invertibilidad de sistemas LTI Consideremos un sistema LTI con respuesta al impulso h(t).El sistema es invertible si existe un sistema inverso que, cuando est´ conectado en serie con el sistema original, a produce una salida igual a la entrada del primer sistema. M´s a´n, si un sistema LTI es a u invertible entonces tiene un inverso LTI. El sistema inverso, con respuesta al impulto h1 (t) resulta en ω(t) = x(t)

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Como la respuesta al impulso es h(t) ∗ h1 (t) entonces h1 (t)debe ser la respuesta al impulso del sistema inverso, es decir h(t) ∗ h1 (t) = δ(t) 6. Causalidad para los sistema LTI Propiedad de causalidad: La salida de un sistema causal depende s´lo de los valores o presentes y pasados de la entrada al mismo. Usando la suma e integral de convoluci´n o relacionamos esta propiedad con una propiedad correspondiente de la respuesta al impulso de un sistema LTI....