LOGARITMO1
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Publicado: 13 de septiembre de 2015
LOGARITMOS
En matemáticas, el logaritmo de un número —en una base de logaritmo determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10.
De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división,el cálculo de logaritmos es la operación inversa a la exponenciación de la base del logaritmo.
Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, 35=243 luego log3243=5. Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.
Los logaritmos fueron introducidospor John Napier a principios del siglo XVII como un medio de simplificación de los cálculos. Estos fueron prontamente adoptados por científicos, ingenieros, banqueros y otros para realizar operaciones fácil y rápidamente, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos. Estos dispositivos se basan en el hecho más importante — poridentidades logarítmicas — que el logaritmo de un producto esla suma de los logaritmos de los factores:
La noción actual de los logaritmos viene de Leonhard Euler, quien conectó estos con la función exponencial en el siglo XVIII
Definiciones
Logaritmo puede ser definido de diversas maneras: como exponente, cuando se conocen la base de una potencia y el valor de esta; tal el caso si
, como resuelve la ecuación, se dice que -4 es el logaritmo de 1/16 en base 2. Obien
.1 .
Se exige que la base de logaritmos sea un número positivo distinto de 1. Usualmente se ha considerado como base, 10: originando los logaritmos decimales o vulgares. O bien la base, el número e: generando los logaritmos naturales o neperianos.
Como una función real de variable real. Concretamente, considerando que la función exponencial es una función creciente y continua de dominio ℝ ycodominio ℝ+, pues tiene función inversa de dominio ℝ+, y codominio ℝ, que también es creciente y continua para base mayor que 1.2
Por integral definida
que se lee logaritmo natural de a, en este caso la base de los logaritmos es el número irracional trascendente e que es el límite de
cuando n tiende a infinito.3
Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (opotencia) a la que un número fijo b (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de b a la potencia n. Esta función se escribe como: n = logb x, lo que permite obtener n.4
(esto se lee como: logaritmo en base b de x es igual a n; si y sólo si b elevado a la n da por resultado a x)
Para que la definición sea válida, no todas las bases y números son posibles. Labase b tiene que ser positiva y distinta de 1, luego b> 0 y b ≠ 1, x tiene que ser un número positivo x > 0 y n puede ser cualquier número real (n ∈ R).5
Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2.
Identidades logarítmicas
Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:
El logaritmo de un productoes igual a la suma de los logaritmos de los factores.
El logaritmo de un inverso multiplicativo es el inverso aditivo del logaritmo:
El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.
El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.
El logaritmo de una raíz es igual al producto entrela inversa del índice y el logaritmo del radicando.
En realidad la cuarta y quinta identidad son equivalentes, sin más que hacer:
Elección y cambio de base
Entre los logaritmos más utilizados se encuentra el logaritmo natural, cuya base es e, base 10 (logaritmo común), base 2 (logaritmo binario), o en base indefinida (logaritmo indefinido). La elección de un determinado número como...
En matemáticas, el logaritmo de un número —en una base de logaritmo determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10.
De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división,el cálculo de logaritmos es la operación inversa a la exponenciación de la base del logaritmo.
Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, 35=243 luego log3243=5. Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.
Los logaritmos fueron introducidospor John Napier a principios del siglo XVII como un medio de simplificación de los cálculos. Estos fueron prontamente adoptados por científicos, ingenieros, banqueros y otros para realizar operaciones fácil y rápidamente, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos. Estos dispositivos se basan en el hecho más importante — poridentidades logarítmicas — que el logaritmo de un producto esla suma de los logaritmos de los factores:
La noción actual de los logaritmos viene de Leonhard Euler, quien conectó estos con la función exponencial en el siglo XVIII
Definiciones
Logaritmo puede ser definido de diversas maneras: como exponente, cuando se conocen la base de una potencia y el valor de esta; tal el caso si
, como resuelve la ecuación, se dice que -4 es el logaritmo de 1/16 en base 2. Obien
.1 .
Se exige que la base de logaritmos sea un número positivo distinto de 1. Usualmente se ha considerado como base, 10: originando los logaritmos decimales o vulgares. O bien la base, el número e: generando los logaritmos naturales o neperianos.
Como una función real de variable real. Concretamente, considerando que la función exponencial es una función creciente y continua de dominio ℝ ycodominio ℝ+, pues tiene función inversa de dominio ℝ+, y codominio ℝ, que también es creciente y continua para base mayor que 1.2
Por integral definida
que se lee logaritmo natural de a, en este caso la base de los logaritmos es el número irracional trascendente e que es el límite de
cuando n tiende a infinito.3
Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (opotencia) a la que un número fijo b (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de b a la potencia n. Esta función se escribe como: n = logb x, lo que permite obtener n.4
(esto se lee como: logaritmo en base b de x es igual a n; si y sólo si b elevado a la n da por resultado a x)
Para que la definición sea válida, no todas las bases y números son posibles. Labase b tiene que ser positiva y distinta de 1, luego b> 0 y b ≠ 1, x tiene que ser un número positivo x > 0 y n puede ser cualquier número real (n ∈ R).5
Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2.
Identidades logarítmicas
Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:
El logaritmo de un productoes igual a la suma de los logaritmos de los factores.
El logaritmo de un inverso multiplicativo es el inverso aditivo del logaritmo:
El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.
El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.
El logaritmo de una raíz es igual al producto entrela inversa del índice y el logaritmo del radicando.
En realidad la cuarta y quinta identidad son equivalentes, sin más que hacer:
Elección y cambio de base
Entre los logaritmos más utilizados se encuentra el logaritmo natural, cuya base es e, base 10 (logaritmo común), base 2 (logaritmo binario), o en base indefinida (logaritmo indefinido). La elección de un determinado número como...
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