Lolaso

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UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL NORTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

TALLER N 2 ALGEBRA LINEAL 1. Muestre que el conjunto f(cos(x); sen(x)); ( sen(x); cos(x))g con x / 0 < x < 2 el espacio vectorial real R2es una base para

2. Sea F= ff / f : R ! R; f función g : Se de…nen VP = ff : R ! R = f ( x) = f (x)g y VI = ff : R ! R / f ( x) = f (x)g subconjuntos de F. (a) Pruebe que VP (b) Pruebe que F= VP yVI son subespacios de F. VI
t

(c) ¿Son las funciones e ; sen(t); cos(t) linealmente independientes sobre R?

3. Sean W1 ; W2 ; W3 y W4 los siguientes s.e.v. de R3 : W2 = (a; b; c) 2 R3 = a = cW1 = (a; b; c) 2 R3 = a + b + c = 0

Caracterice los elementos de cada uno de los siguientes subespacios: (a) W1 + W2 (d) W1 \ W3 (b) W1 + W3 (e) W2 \ W3 (c) W2 + W3

W3 = (a; b; c) 2 R3 / a = b =0

4. Sea R3 un e.v. sobre R. Sean W2 = (a; b; c) 2 R3 / a = b = 0 Demuestre que : W1 W1 = (a; b; c) 2 R3 / a + b + c = 0 y W 2 = R3 : subespacios de R3 :

5. Determine si los siguientesconjuntos son L.I. ó L.D.: (a) En R4 ; S = f(1; 0; 0; 1); (0; 1; 0; 1) ; (0; 0; 1; 1) ; (1; 1; 1; 1)g x; x2 1 0 2x; 3x + 5x2 ; 1 3 0 1 (c) En M2 (R) ; S = 1 6 ; y : 1 1 1 2 ; 0 1 1 0

(b) En P2 [R] ; S =6. Sean S = f(1; 0; 0; 1) ; (0; 1; 0; 1) ; (0; 0; 1; 1)g W = (x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) 2 R / x1 + x2 + x3 Demuestre que hSi = W:
4

x4 = 0

7. Encuentre un conjunto que genere el subespacio 8 x1 < W= (x1 ; x2 ; x3 ) 2 R3 / 3x1 : x1 8. Sea la matriz A = de M2 (R) (a) W1 = fX 2M2 (R) / AX = XAg 1 1 2 2

+ x2 + x2

+ x3 + 5x3 + 2x3

9 = 0 = = 0 ; = 0

: Encuentre un conjunto generador paralos siguientes subespacios

(b) W2 = fX 2M2 (R) / XA sea una matriz diagonalg 1

W1 = (x; y; z) 2 R3 / x + y + z = 0 3x + y + 9. Si W2 = (x; y; z) 2 R3 / x +

y 5z 2z

= =

0 0

:Encuentre un conjunto que genere a W1 \ W2: 10. Caracterice los subespacios de R3 generados por los vectores (0; 1; 2) ; ( 1; 3 11. Encuentre una base y determine la dimensión de los siguientes s.e.v....
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